Затухаючі коливання - коливання, енергія яких зменшується з плином часу. Нескінченно що триває процес виду в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно загасають і припиняються. Тому на практиці зазвичай мають справу з затухаючими коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань A є спадною функцією. Зазвичай загасання відбувається під дією сил опору середовища, найбільш часто висловлюються лінійної залежністю від швидкості коливань або її квадрата.
Нехай є система, що складається з пружини (підкоряється закону Гука), один кінець якої жорстко закріплений, а на іншому знаходиться тіло масою m. Коливання відбуваються в середовищі, де сила опору пропорційна швидкості з коефіцієнтом c (див. В'язке тертя).
Тоді другий закон Ньютона для даної системи запишеться так:
де - сила опору, - сила пружності
або в диференціальної формі
де k - коефіцієнт пружності в законі Гука, c - коефіцієнт опору, який встановлює співвідношення між швидкістю руху грузика і виникає при цьому силою опору.
Для спрощення запроваджуються такі позначення:
Величину називають власною частотою системи, - коефіцієнтом загасання.
Тоді диференціальне рівняння набирає вигляду
Зробивши заміну. отримують характеристичне рівняння
Коріння якого обчислюються за такою формулою
Залежність графіків коливань від значення.
Залежно від величини коефіцієнта загасання рішення розділяється на три можливих варіанти.
Якщо. то є два дійсних кореня, і рішення диференціального рівняння набуває вигляду:
У цьому випадку коливання з самого початку експоненціально загасають.
Якщо. два дійсних корені збігаються. і рішенням рівняння є:
В даному випадку може мати місце тимчасове зростання, але потім - експоненціальне загасання.
Якщо. то рішенням характеристичного рівняння є два комплексно сполучених кореня
Тоді рішенням вихідного диференціального рівняння є
Де - власна частота згасаючих коливань.
Константи і в кожному окремому випадку визначаються з початкових умов:
Загасанням коливань називається поступове ослаблення коливань з плином часу, обумовлене втратою енергії коливальної системою. Закон загасання коливань залежить від властивостей коливальної системи. Система називається лінійної. якщо параметри, що характеризують істотні в даному процесі фізичні властивості системи, не змінюються в ході процесу. Вільні затухаючі коливання лінійної системи описуються рівнянням:
Для вирішення рівняння (7.1.1) проводиться підстановка. Ця підстановка приводить до характеристическому рівняння:
яке має два кореня:
При не дуже великій загасання (при) подкоренное вираз буде негативним. Якщо його представити у вигляді. де - речова позитивна величина, яка називається циклічною частотою загасаючих коливань і рівна. то корені рівняння (3) запишуться у вигляді:
Спільним рішенням рівняння (7.1.1) буде функція:
яку можна представити у вигляді:
Тут і - довільні постійні.
Відповідно до (7.1.6) рух системи можна умовно розглядати як гармонійне коливання частоти w з амплітудою, що змінюється за законом:
Швидкість загасання коливань визначається коефіцієнтом загасання. Відповідно до виразом (7.1.7) коефіцієнт загасання обернений за величиною того проміжку часу, за який амплітуда коливань зменшується в «e» = 2.718 раз.
Період затухаючих коливань
Період затухаючих коливань визначається формулою:
При незначному загасання () період коливань практично дорівнює. З ростом період збільшується. Зі співвідношення (7.1.7) випливає, що. Таке ставлення амплітуд називається декрементом загасання. а його натуральний логарифм - логарифмічним декрементом загасання:
Логарифмічний декремент загасання обернений за величиною числа коливань, що здійснюються за той час, за яке амплітуда зменшується в «e» раз. Крім розглянутих величин для характеристики коливальної системи використовується величина. звана добротністю коливальної системи. Добротність пропорційна числу коливань, що здійснюються системою за той час, за яке амплітуда коливань зменшується в «e» раз. Великим значенням добротності відповідає мале загасання. Енергія коливальні системи убуває з часом. Це обумовлено наявністю загасання. При малому загасанні, коли енергія змінюється за законом:
де - значення енергії в початковий момент.
Можна показати, що при слабкому загасанні добротність з точністю до множника 2p дорівнює відношенню енергії, запасеної в системі в даний момент часу, до убутку цієї енергії за один період коливань.
З ростом g період коливань збільшується. При період звертається в нескінченність, тобто рух перестає бути періодичним. При виведена з положення рівноваги система повертається в нього, не здійснюючи коливань.
При незначному загасання () період коливань практично дорівнює. З ростом період збільшується. Зі співвідношення (7.1.7) випливає, що. Таке ставлення амплітуд називається декрементом загасання. а його натуральний логарифм - логарифмічним декрементом загасання: