7.1 Вирішити таку задачу Коші для рівняння теплопровідності:
7.2. Використовуючи рішення задачі 7.1, показати, що рішення задачі Коші
можна представити у вигляді (формула Пуассона).
7.3 У теплоізольований з боків стрижень щільності r, площі поперечного перерізу S в момент часу t = 0 на відрізку [x-h, x + h] миттєво вводиться кількість тепла, яке дорівнює crS. Показати, що початковий розподіл температур буде мати вигляд. і.
У чому полягає фізичний зміст функції, знайденої під час розв'язання задачі 7.2 (фундаментального рішення рівняння теплопровідності)?
7.4. Знайти розподіл температури u (x, t) в нескінченному стрижні, якщо початковий розподіл температури має вигляд.
7.5. Розподіл температур задано функцією - фундаментальним рішенням рівняння теплопровідності (дивись зад. 7.1). Побудувати графік зміни температури в залежності від часу при фіксованому.
Вказівка. Максимум температури досягається при і дорівнює.
7.6. Довести, що якщо функція в завданню Коші
7.7. Довести, що якщо функція в завданню Коші
7.8. Використовуючи метод відображення. вирішити рівняння
при початковому умови
і крайовому умови
Зобразити криву, яка має залежність температури від для кількох
Вказівка. Використовуючи результат завдання 7.6, потрібно покласти
і використовувати формулу Пуассона з завдання 7.2.
7.9. Нехай кінець напівнескінченного стержня () теплоізольований, тобто
. Початковий розподіл температури:.
Визначити розподіл температури в стержні в будь-який момент часу
7.7. Завдання Дирихле для кола. Знайти функцію. (- полярні координати), що задовольняє рівняння всередині кола і приймаючу задані значення на його кордоні:. (Див. Піскунов, Діффа. І интегр. Обчислення, т.2, XXIX, §10).
Вказівка. Рівняння в полярних координатах має вигляд