Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z
Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)
задає площину, і навпаки: будь-яка площина може бути представлена рівнянням (3.1), яке називається рівнянням площини.
Вектор n (A, B, C), прямокутний площині, називається нормальним вектором площини. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, C одночасно не рівні 0.
Особливі випадки рівняння (3.1):
1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - площина проходить через початок координат.
2. C = 0, Ax + By + D = 0 - площина паралельна осі Oz.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - площина проходить через вісь Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - площина паралельна площині Oyz.
Рівняння координатних площин: x = 0, y = 0, z = 0.
Пряма в просторі може бути задана:
1) як лінія перетину двох площин, тобто. системою рівнянь:
2) двома своїми точками M1 (x1. Y1. Z1) і M2 (x2. Y2. Z2), тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:
3) точкою M1 (x1. Y1. Z1), їй належить, і вектором a (m, n, р), їй колінеарну. Тоді пряма визначається рівняннями:
Рівняння (3.4) називаються канонічними рівняннями прямої.
Вектор a називається напрямних вектором прямої.
Параметричні рівняння прямої отримаємо, прирівнявши кожне з відносин (3.4) параметру t:
Вирішуючи систему (3.2) як систему лінійних рівнянь щодо невідомих x і y. приходимо до рівнянь прямої в проекціях або до наведених рівнянням прямої.
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Від рівнянь (3.6) можна перейти до канонічним рівнянням, знаходячи z з кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:
Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним і іншим способом, якщо знайти яку-небудь точку цієї прямої і її спрямовує вектор n = [n1. n2], де n1 (A1. B1. C1) і n2 (A2. B2. C2) - нормальні вектори заданих площин. Якщо один з знаменників m, n або р в рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідної дробу треба покласти рівним нулю, тобто система
рівносильна системі; така пряма перпендикулярна до осі Ох.
Система рівносильна системі x = x1, y = y1; пряма паралельна осі Oz.
Приклад 1.15. Cоставьте рівняння площини, знаючи, що точка А (1, -1,3) служить підставою перпендикуляра, проведеного з початку координат до цієї площини.
Рішення. За умовою завдання вектор ОА (1, -1,3) є нормальним вектором площини, тоді її рівняння можна записати у вигляді
x-y + 3z + D = 0. Підставивши координати точки А (1, -1,3), що належить площині, знайдемо D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. Отже, x-y + 3z-11 = 0.
Приклад 1.16. Складіть рівняння площини, що проходить через вісь Оz і утворює з площиною 2x + y- z-7 = 0 кут 60 о.
Рішення. Площина, що проходить через вісь Oz, задається рівнянням Ax + By = 0, де А і В одночасно не звертаються в нуль. Нехай В не
дорівнює 0, A / Bx + y = 0. За формулою косинуса кута між двома площинами
Вирішуючи квадратне рівняння 3m 2 + 8m - 3 = 0, знаходимо його корені
m1 = 1/3, m2 = -3, звідки отримуємо дві площини 1 / 3x + y = 0 і -3x + y = 0.
Приклад 1.17. Складіть канонічні рівняння прямої:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Рішення. Канонічні рівняння прямої мають вигляд:
де m, n, р - координати направляючого вектора прямої, x1. y1. z1 - координати будь-якої точки, що належить прямій. Пряма задана як лінія перетину двох площин. Щоб знайти точку, що належить прямій, фіксують одну з координат (найпростіше покласти, наприклад, x = 0) і отриману систему вирішують як систему лінійних рівнянь з двома невідомими. Отже, нехай x = 0, тоді y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, звідки y = -1, z = 1. Координати точки М (x1. Y1. Z1), що належить даній прямій, ми знайшли: M (0, -1,1). Спрямовує вектор прямої легко знайти, знаючи нормальні вектори вихідних площин n1 (5,1,1) і n2 (2,3, -2). тоді
Канонічні рівняння прямої мають вигляд: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (Z - 1) / 13.
Приклад 1.18. У пучку, який визначається площинами 2х-у + 5z-3 = 0 і х + у + 2z + 1 = 0, знайти дві перпендикулярні площині, одна з яких проходить через точку М (1,0,1).
Рішення. Рівняння пучка, що визначається даними площинами, має вигляд u (2х-у + 5z-3) + v (х + у + 2z + 1) = 0, де u і v не звертаються в нуль одночасно. Перепишемо рівняння пучка в такий спосіб:
(2u + v) x + (- u + v) y + (5u + 2v) z - 3u + v = 0.
Для того, щоб з пучка виділити площину, що проходить через точку М, підставимо координати точки М в рівняння пучка. отримаємо:
(2u + v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v = 0, або v = - u.
Тоді рівняння площини, що містить M, знайдемо, підставивши v = - u в рівняння пучка:
u (2x-y + 5z - 3) - u (x + y + 2z +1) = 0.
Оскільки u ¹ 0 (інакше v = 0, а це суперечить визначенню пучка), то маємо рівняння площини x-2y + 3z-4 = 0. Друга площина, що належить пучку, повинна бути їй перпендикулярна. Запишемо умову ортогональності площин:
(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u + 2v) × 3 = 0, або v = - 19 / 5u.
Значить, рівняння другий площині має вигляд:
u (2x -y + 5z - 3) - 19/5 u (x + y + 2z +1) = 0 або 9x + 24y + 13z + 34 = 0.