Диференціальне рівняння в приватних похідних виду:
називається рівнянням Лапласа в декартових координатах.
Воно є окремим випадком рівняння Гельмгольца. Може розглядатися в тривимірному (1), двовимірному (2), одновимірному і n - вимірному просторах:
Оператор називається оператором Лапласа (оператор Лапласа еквівалентний послідовного взяття операцій градієнта і дивергенції.).
Рішення рівняння Лапласа
Рішеннями рівняння Лапласа є гармонійні функції.
Рівняння Лапласа відноситься до еліптичних рівнянь. Неоднорідне рівняння Лапласа стає рівнянням Пуассона.
Кожне рішення рівняння Лапласа в обмеженій області G однозначно виділяється крайовими умовами, що накладаються на поведінку рішення (або його похідних) на кордоні області G. Якщо рішення відшукується у всьому просторі, крайові умови зводяться до приписом деякої асимптотики для f при. Завдання про знаходження таких рішень називається крайової завданням. Найчастіше зустрічаються завдання Дирихле, коли на кордоні задано значення самої функції f, і завдання Німану, коли задано значення похідної f по нормалі до кордону.
Рівняння Лапласа в сферичних, полярних і циліндричних координатах
Рівняння Лапласа можна записати не тільки в декартових координатах.
У сферичних координатах (рівняння Лапласа має наступний вигляд:
У полярних координатах (система координат рівняння має вигляд:
В циліндричних координатах (рівняння має вигляд:
До рівняння Лапласа приводять багато завдань фізики і механіки, в яких фізична величина є функцією тільки координат точки. Так, рівняння Лапласа описує потенціал сил тяжіння в області, яка не містить тяжіють мас, потенціал електростатичного поля - в області, яка не містить зарядів, температуру при стаціонарних процесах і т. Д. Велика кількість інженерних задач, пов'язаних, зокрема, з повільним стаціонарним обтіканням корпусу корабля, стаціонарної фільтрацією підземних вод, виникненням поля навколо електромагніту, а також стаціонарного електричного поля в околиці фарфорового ізолятора або заглибленого в землю електричного кабел я змінного поперечного перерізу, зводиться до вирішення тривимірних рівнянь Лапласа або Пуассона. Велике значення оператор Лапласа грає в квантовій механіці.
Приклади розв'язання задач
Знайдіть поле між двома коаксіальними циліндрами з радіусами і, різниця потенціалів між якими дорівнює
