Нижче наведені посилання на сторінки з текстами задач на тему "Формула Бернуллі". Всі завдання мають повне і якісне рішення.
Формула Бернуллі: теорія і завдання
При вирішенні задач теорії ймовірності часто виникають ситуації, в яких один і той же випробування повторюється багаторазово, причому результат кожного випробування незалежний від результатів інших і настає з однаковою ймовірністю. Такий експеримент називають схемою повторних незалежних випробувань або схемою Бернуллі.
Нехай деяка подія А настає в кожному випробуванні з ймовірністю (ймовірність успіху). Позначимо за ймовірність того, що подія А не наступить у випробуванні (ймовірність протилежної події, невдачі). Зробимо n незалежних випробувань. Тоді ймовірність того, що подія А в них настало в точності k раз, можна знайти за формулою Бернуллі:
Взагалі кажучи, дану ймовірність можна було обчислити безпосередньо, використовуючи теореми додавання і множення ймовірностей. Але при досить великій кількості випробувань це трудомісткий шлях. Формула Бернуллі узагальнює спосіб обчислення таких ймовірностей і дає простий і зручний інструмент обчислення (Якоб Бернуллі (1654 - 1705) - швейцарський математик).
Розподіл числа успіхів (появ події А) носить назву біноміального розподілу.
Схема Бернуллі дозволяє встановити, яка кількість появ події А найбільш ймовірно. Формула для найімовірнішого числа появ події А має вигляд:. При цьому число може приймати або одне значення (коли є цілим числом), або два значення (коли цілим є).
Приклад. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,7 і не залежить від номера пострілу. Знайти ймовірність того, що при 5 пострілах буде рівно 3 попадання в ціль.
Рішення. Підставляємо в формулу Бернуллі дані завдання і отримуємо:
Приклад. На склад з виробничого цеху надходить в середньому 5% нестандартних деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих навмання 10 деталей 2 будуть нестандартними.
Рішення. Подія А - «поява нестандартної деталі», його ймовірність, число деталей. За формулою Бернуллі знаходимо для:
Інші приклади завдань ви знайдете на сторінці Приклади з теорії ймовірностей.