Рекомендації щодо вирішення нерівностей і систем нерівностей
Перш ніж вирішувати нерівність, слід визначити його вид.
Всі лінійні нерівності вирішують як лінійні рівняння, зберігаючи знак нерівності. всі інші нерівності можна вирішити методом інтервалів.
Рішення лінійних нерівностей.
1) Розкрити дужки, якщо вони є; знак нерівності зберігається;
2) Перенести всі невідомі в одну частину, відомі - в іншу, при цьому змінюючи знаки переносяться доданків на протилежні; знак нерівності зберігається;
3) Привести подібні доданки; знак нерівності зберігається;
4) Обидві частини нерівності розділити на коефіцієнт перед змінної, при цьому знак нерівності зберігається, якщо ділимо на позитивне число, і змінюється на протилежний, якщо ділимо на негативне число;
5) Показуємо рішення на координатної прямий і записуємо відповідь числовим проміжком.
8-12x≥7-5x 1/7 х
Рішення нерівностей методом інтервалів
Рішення квадратних нерівностей
1) Прирівняти квадратний тричлен до нуля і знайти його коріння;
2) Розкласти квадратний тричлен на множники за формулою ах 2 + вх + с = а (х-х1) * (х-х2);
3) Відзначити коріння на координатної прямий і намалювати інтервали. Якщо тричлен не має коренів, то інтервалів на прямій немає.
4) Відзначити знак вираження на кожному інтервалі координатної прямої.
5) Вибрати потрібний інтервал, у відповідності зі знаком нерівності (якщо знак нерівності> або ≥, то вибираємо інтервали зі знаком +, якщо знак нерівності <или ≤, то выбираем интервалы со знаком -)
6) Записати відповідь.
Наприклад: 1) Вирішити нерівність:.
2) Вирішити нерівність: x 2 - 6x + 9> 0
x = 3 (x - 3) 2> 0
X Є (-∞; 3) # 7452; (3; + ∞) x
3) Вирішити нерівність: 2x 2x + 3 <0
D = (- 1) 2 -4 * 2 * 3 = 1 - 24 = -23 <0, значит уравнение не имеет корней.
2x 2x + 3 <0
Нерівність не має коренів
Рішення нерівностей вищих ступенів.
1) Перенести складові з правої частини в ліву (праворуч повинен бути 0!)
2) Якщо нерівність не розкладено на множники, то його слід розкласти на множники;
3) Знайти коріння кожного лінійного множника;
4) Відзначити кратність кожного кореня (скільки разів корінь повторюється в цьому виразі)
5) Відзначити коріння на координатної прямий і намалювати інтервали.
6) Відзначити знак вираження на кожному інтервалі координатної прямої (рекомендується з крайнього правого інтервалу)
7) Вибрати потрібний інтервал, у відповідності зі знаком нерівності (якщо знак нерівності> або ≥, то вибираємо інтервали зі знаком +, якщо знак нерівності <или ≤, то выбираем интервалы со знаком -)
8) Записати відповідь
Даний многочлен має коріння: кратності 6; кратності 3; кратності 1; кратності 2; кратності 5.
Нанесемо ці коріння на числову вісь. Відзначимо коріння парному кратності двома рисками.
Визначимо знак многочлена на кожному інтервалі, при будь-якому значенні х що не співпадає з корінням і взятому з даного інтервалу, при цьому враховуємо кратність коренів. Якщо кратність кореня парна, то при переході через цей корінь, знак вираження не змінюється, якщо кратність - непарна, то при переході через корінь змінюється знак вираження.
У відповідь включаємо інтервали, відмічені знаком +, тому що знак нерівності ≥ і точки, де многочлен дорівнює 0, тому що нерівність Нечитка.
Відповідь: х # 1013; [-2; 0] U [3; ∞); х = -5; х = 1