6.1. Ранг матриці. Повернемося до матриць. Розглянемо довільну матрицю розміру х. Її можна розглянути як сукупність рядків довжини. тобто сукупність векторів з простору R n.
Визначення. Рангом по рядках матриці називається ранг системи рядків.
Позначення: або rг (А).
З іншого боку, матрицю можна розглядати як сукупність стовпців висоти. тобто безліч векторів з простору R m.
Визначення. Рангом за стовпцями матриці називається ранг системи стовпців.
Позначення: або rв (А).
Перш, ніж доводити цю теорему, сформулюємо і доведемо лему.
Лемма. Елементарні перетворення не змінюють ні рангу по рядках, ні рангу по стовпчиках.
Доведення. А). Нехай матриця отримана з матриці застосуванням елементарного перетворення типу I. Рівність rг () = rг (А) очевидно, адже порядок рядків не може впливати на їх лінійну залежність. Нехай тепер матриця отримана з матриці застосуванням елементарного перетворення типу II:. Ранг по рядках не міг збільшитися: якщо - максимальна лінійно незалежна система рядків, то
тобто новий рядок лінійно виражається через ту ж систему лінійно незалежних рядків. Значить, rг () rг (А). Зауважимо, що зворотне перетворення теж є елементарним перетворенням типу II:. і тому rг (А) rг (). Звідси rг () = rг (А).
Б). Розглянемо тепер ранг по стовпцях. Нехай якась система стовпців була лінійно залежною:
Числа є рішенням системи лінійних рівнянь з матрицею, складеною з стовпців. Але елементарні перетворення матриці не змінюють безлічі рішень системи лінійних рівнянь, тому набір чисел буде рішенням системи лінійних рівнянь з матрицею, складеною з стовпців. Це означає, що ці стовпці після перетворення залишилися лінійно залежними, і нових лінійно незалежних систем стовпців не з'явилося, і rв () rв (А). Але так як зворотне перетворення теж є елементарним перетворенням, то rв (А) rв (). Значить, rв () = rв (А). Лема доведена.
Тепер приступимо до доведення теореми про ранг матриці.
Доказ теореми. Зауважимо, що, застосовуючи елементарні перетворення, ми можемо привести матрицю до ступінчастого вигляду:
Стовпці. відповідні нашим сходинках (їх кількість дорівнює), лінійно незалежні. Щоб це показати, припустимо противне: нехай
Починаючи вирішувати дану систему з останнього рівняння, отримуємо, що тобто лінійна комбінація тривіальна. Значить, rв (). З іншого боку, стовпці матриці можна вважати елементами простору R r ( «відрізавши» останні нульових елементів), отже, rв (). Значить, rв ().
Розберемося з рядками. Рядки лінійно незалежні, так як рівність тягне
Вирішуючи послідовно цю систему рівнянь і враховуючи, що. отримуємо: Значить, ці рядки лінійно незалежні, і rг (). З іншого боку, безліч з векторів не може мати ранг більше. тому rг () =. Отже, rг () = rв () =. Теорема доведена.
6.2. Базисний мінор. Ранг матриці можна обчислити інакше. Нагадаємо, що таке мінор матриці, трохи узагальнивши це поняття. Візьмемо не всю матрицю, а тільки ті її елементи, які стоять на перетині деяких рядків і стовпців:
Визначник такої матриці і назвемо мінор. Число рядків (стовпців) мінору назвемо порядком мінору.
Якщо в матриці є хоча б один ненульовий елемент, то існує ненульовий мінор порядку 1. Очевидно, що у матриці розміру х максимальний порядок мінору дорівнює.
Нехай у матриці існує ненульовий мінор порядку і все мінори порядку дорівнюють 0. Такий мінор - максимального порядку - назвемо базисним.
Визначення. Базисний Мінор ненульовий мінор максимального порядку.
Теорема (про базисному мінорі) .Порядок базисного мінору дорівнює рангу матриці.
Доведення. 1). Покажемо, що якщо мінор відмінний від нуля, то рядки лінійно незалежні. Припустимо противне. Нехай ці рядки лінійно залежні, тобто одна з рядків, наприклад, лінійно виражається через інші:
Тоді в мінорі віднімемо з останнього рядка цю лінійну комбінацію рядків - отримаємо нульову рядок. Користуючись властивостями визначника, отримуємо рівність нулю цього мінору.
2). Покажемо, що якщо мінор базисний, то всі рядки матриці лінійно виражаються через. Складемо визначник порядку. додавши до рядків ще один рядок - з номером. а до стовпців - ще один стовпець - з номером:
Визначник такої матриці дорівнює нулю: якщо збігається з одним з номерів або номер збігається з одним з номерів, то ми отримуємо матрицю з однаковими рядками або стовпцями. Якщо ж ні. ні не збігаються з номерами рядків або стовпців відповідно, то визначник дорівнює нулю за визначенням базисного мінору.
Розкладемо цей визначник по останньому стовпчику:
Але - це і є базисний мінор! значить,
Помітивши, що алгебраїчні доповнення не залежать від (а тільки від елементів базисного мінору і -го рядка), отримуємо, що -я рядок лінійно виражається через рядки, що входять в базисний мінор.
Підведемо підсумок. Ми отримали, що рядки, що входять в базисний мінор, лінійно незалежні, а всі інші рядки лінійно виражаються через них. Значить, ці рядки утворюють максимальну лінійно незалежну систему в безлічі рядків матриці, і їх кількість - тобто порядок базисного мінору - одно рангу матриці. Теорема доведена.
6.3. Теорема Кронекера - Капеллі.Сістема лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи.
Доведення. 1). Нехай дана система рівнянь
Припустимо, що вона сумісна і набір чисел - деяке її рішення. Але тоді
(Нагадаємо, - -й стовпець матриці). Іншими словами, стовпець лінійно виражається через стовпці вихідної матриці, і, отже, ранг системи стовпців дорівнює рангу системи. тобто ранг матриці дорівнює рангу розширеної матриці.
2). Нехай відомо, що ранг матриці дорівнює рангу розширеної матриці.
Тоді максимальна лінійно незалежна система стовпців матриці залишиться максимальної лінійно незалежною системою стовпців розширеної матриці. і стовпець лінійно виражається через стовпці матриці:
Але тоді набір чисел є рішенням вихідної системи, тобто система сумісна. Теорема доведена.