1
b; якщо a менше b, то пишуть: a b означає, що різниця a - b по "title =" Визначення Число а більше числа b, якщо різниця a-b позитивна. Число a менше числа b, якщо різниця a-b негативна. Якщо a більше b, то пишуть: a> b; якщо a менше b, то пишуть: ab означає, що різниця ab по "class =" link_thumb "> 3 Визначення Число а більше числа b, якщо різниця ab позитивна. Число a менше числа b, якщо різниця ab негативна. якщо a більше b, то пишуть: a> b; якщо a менше b, то пишуть: ab означає, що різниця ab позитивна, тобто ab> 0. Нерівність ab; якщо a менше b, то пишуть: ab означає, що різниця a - b по "> b; якщо a менше b, то пишуть: a b означає, що різниця a - b позитивна, тобто a-b> 0. Нерівність a b; якщо a менше b, то пишуть: a b означає, що різниця a - b по "title =" Визначення Число а більше числа b, якщо різниця a-b позитивна. Число a менше числа b, якщо різниця a-b негативна. Якщо a більше b, то пишуть: a> b; якщо a менше b, то пишуть: a b означає, що різниця a - b по ">
, = Або. = Або 4 Порівняти числа a і b - значить з'ясувати, який із знаків>, = або 0, то 1,5> 1,25. = Або. = Або 0, то 1,5> 1,25. ">. = Або. = Або
b і b> с, то а> с. Доказ: За умовою a> b і b> c. Це означає, що a-b> 0 і b-c> 0. Складаючи позитивні числа а-b і b-c, отримуємо (а-b) + (b-с)> 0, тобто. a-c> 0. Отже, a> c. "Title =" Основні властивості числових нерівностей Теорема 1. Якщо а> b і b> с, то а> с. Доказ: За умовою a> b і b> c. Це означає, що a-b> 0 і b-c> 0. Складаючи позитивні числа а-b і b-c, отримуємо (а-b) + (b-с)> 0, тобто. a-c> 0. Отже, a> c. "Class =" link_thumb "> 5 Основні властивості числових нерівностей Теорема 1. Якщо а> b і b> с, то а> с. Доказ: За умовою a> b і b> c. Це означає, що ab> 0 і bc> 0. Складаючи позитивні числа а-b і bc, отримуємо (а-b) + (b-с)> 0, тобто. ac> 0. Отже, a> c. b і b > с, то а> с. Доказ: За умовою a> b і b> c. Це означає, що ab> 0 і bc> 0. Складаючи позитивні числа а-b і bc, отримуємо (а-b) + (b -з)> 0, тобто. ac> 0. Отже, a> c. "> b і b> с, то а> с. Доказ: За умовою a> b і b> c. Це означає, що a-b> 0 і b-c> 0. Складаючи позитивні числа а-b і b-c, отримуємо (а-b) + (b-с)> 0, тобто. a-c> 0. Отже, a> c. "> B і b> с, то а> с. Доказ: За умовою a> b і b> c. Це означає, що ab> 0 і bc> 0. Складаючи позитивні числа а-b і bc, отримуємо (а-b) + (b-с)> 0, тобто. ac> 0. Отже, a> c. " title = "Основні властивості числових нерівностей Теорема 1. Якщо а> b і b> с, то а> с. Доказ: За умовою a> b і b> c. Це означає, що ab> 0 і bc> 0. Складаючи позитивні числа а-b і bc, отримуємо (а-b) + (b-с)> 0, тобто. ac> 0. Отже, a> c. ">
b і з - будь-яке число, то а + с> b + с. Доказ: Перетворимо різницю (а + с) - (b + с) = а-b. За умовою а> b, тому а-b - п "title =" Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати одне і те ж число, то знак нерівності не зміниться. Довести: Якщо а> b і з - будь-яке число, то а + с> b + с. Доказ: Перетворимо різницю (а + с) - (b + с) = а-b. За умовою а> b, тому а-b - п "class =" link_thumb "> 6 Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати одне і те ж число, то знак нерівності не зміниться. Довести: Якщо а> b і з - будь-яке число, то а + с> b + с. Доказ: Перетворимо різницю (а + с) - (b + с) = а-b. За умовою а> b, тому а-b - позитивне число. Значить, і різниця (а + с) - (b + с) позитивна. Отже, а + с> b + с. b і з - будь-яке число, то а + с> b + с. Доказ: Перетворимо різницю (а + с) - ( b + с) = а-b. За умовою а> b, тому а-b - п "> b і з - будь-яке число, то а + с> b + с. Доказ: Перетворимо різницю (а + с) - (b + с) = а-b. За умовою а> b, тому а-b - позитивне число. Значить, і різниця (а + с) - (b + с) позитивна. Отже, а + с> b + с. "> B і з - будь-яке число, то а + с> b + с. Доказ: Перетворимо різницю (а + с) - (b + с) = а-b. За умовою а> b, тому а-b - п "title =" Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати одне і те ж число, то знак нерівності не зміниться. Довести: Якщо а> b і з - будь-яке число, то а + з> b + с. Доказ: Перетворимо різницю (а + с) - (b + с) = а-b. За умовою а> b, тому а-b - п ">
b + c, то a-c> b. Доказ: Нехай a> b + c. Додаючи до обох частин цієї нерівності число -c, підлозі "title =" Слідство 1. Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний. Довести: Якщо a> b + c, то a-c> b. Доказ: Нехай a> b + c. Додаючи до обох частин цієї нерівності число -c, підлозі "class =" link_thumb "> 7 Слідство 1. Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний. Довести: Якщо a> b + c, то ac> b. Доказ: Нехай a> b + c. Додаючи до обох частин цієї нерівності число -c, отримуємо ac> b + cc, тобто ac> b. b + c, то ac> b. Доказ: Нехай a> b + c. Додаючи до обох частин цієї нерівності число -c, підлозі "> b + c, то ac> b. Доказ: Нехай a> b + c. Додаючи до обох частин цієї нерівності число -c, отримуємо a-c> b + c-c, тобто ac> b. "> b + c, то ac> b. Доказ: Нехай a> b + c. Додаючи до обох частин цієї нерівності число -c, підлозі" title = "Слідство 1. Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний. Довести: Якщо a> b + c, то ac> b. Доказ: Нехай a> b + c. Додаючи до обох частин цієї нерівності число -c, підлозі ">
8 Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на одне й те саме від'ємне число, то знак нерівності зміниться на протилежний. Доказ: 1) Якщо a> b і c> 0, то ac> bc. За умовою a-b> 0 і c> 0. Тому (a-b) c> 0, тобто ac-bc> 0. Отже, ac> bc. 2) Якщо a> b і c 0 і c b і c> 0, то ac> bc. За умовою a-b> 0 і c> 0. Тому (a-b) c> 0, тобто ac-bc> 0. Отже, ac> bc. 2) Якщо a> b і c 0 і c
9 Слідство 2. Якщо обидві частини нерівності розділити на одне й те саме додатне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності розділити на одне й те саме від'ємне число, то знак нерівності зміниться на протилежний. Наприклад: Якщо розділити обидві частини нерівності 0,75 -1/3.
b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою a-b> 0 і c-d> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + ( "title =" Додавання і множення нерівностей Теорема 1. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою ab> 0 і cd> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + ( "class =" link_thumb "> 10 Додавання і множення нерівностей Теорема 1. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою ab> 0 і cd> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + (cd). То ж чи як сума позитивних чисел полож тельна, то (a + c) - (b + d)> 0, тобто a + c> b + d. b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою ab> 0 і cd> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + ( "> b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою ab> 0 і cd> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + (cd). то ж чи як сума позитивних чисел позитивна, то (a + c) - (b + d)> 0, тобто a + c> b + d. "> b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою a-b> 0 і c-d> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + ( "title =" Додавання і множення нерівностей Теорема 1. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою ab> 0 і cd> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + ( "> b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою ab> 0 і cd> 0. Розглянемо різницю (a + c) - (b + d) = a + cbd = (ab) + ( "title =" Додавання і множення нерівностей Теорема 1. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b і c> d, то a + c> b + d. Доказ: За умовою ab> 0 і cd> 0. Р ссмотрім різниця (a + c) - (b + d) = a + c-b-d = (a-b) + ( ">
b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac- "title =" Теорема 2. При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві і праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac- "class =" link_thumb "> 11 Теорема 2. При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві і праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac-bc + bc-bd = c (ab) + b (cd). За умовою ab> 0, cd> 0, b> 0, c> 0. Тому c (ab) + b (cd)> 0, тобто ac-bd> 0, звідки ac> bd. b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac - "> b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac-bc + bc-bd = c (a-b) + b (c-d). За умовою a-b> 0, c-d> 0, b> 0, c> 0. Тому c (a-b) + b (c-d)> 0, тобто ac-bd> 0, звідки ac> bd. "> b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac-" title = "Теорема 2. При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві і праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ : Розглянемо різницю ac-bd = ac - "> b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac- "title =" Теорема 2. При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві і праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака. Довести: Якщо a> b, c> d і a, b, c, d - позитивні числа, то ac> bd. Доказ: Розглянемо різницю ac-bd = ac - ">
3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1,2 "title =" Приклад 1. Приклад 2. 5,2> 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1 , 2 2,2 1 3 1,2 "class =" link_thumb "> 12 Приклад 1. Приклад 2. 5,2> 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1, 2 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1,2 "> 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1,2" > 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1,2 "title =" Приклад 1. Приклад 2. 5,2> 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1,2 "> 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1,2" title = "Приклад 1. Приклад 2. 5,2> 3 1,5 2 - 6 5 - 4,5 1,2 2,2 1 3 1,2 ">
b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r 13 Піднесення до степеня числового нерівності Нерівність, у якого ліва і права частини позитивні, можна зводити в будь-яку раціональну ступінь: якщо a> b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r b> 0, r> 0, то a r> b r; (1) якщо a> b> 0, r
0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / n b 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, "title =" Властивість (1): Нехай r = 1 / n, де n - натуральне число, більше 1, a> 0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / n b 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, "class =" link_thumb "> 14 Властивість (1): Нехай r = 1 / n, де n - натуральне число, більше 1, a> 0, b> 0 . За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / nb 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, що суперечить умові a> b. Отже, з a> b> 0 випливає, що a 1 / n> b 1 / n. 0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / nb 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, "> 0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / n b 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, що суперечить умові a> b. Отже, з a> b> 0 випливає, що a 1 / n> b 1 / n. "> 0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / nb 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, "title =" Властивість (1): Нехай r = 1 / n, де n - натуральне число, більше 1, a> 0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / nb 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, "> 0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / n b 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, "title =" Властивість (1): Нехай r = 1 / n, де n - натуральне число, більше 1, a> 0, b> 0. За умовою a> b. Довести: a 1 / n> b 1 / n Доказ: Припустимо, що це не вірно, тобто A 1 / n b 1 / n. Але тоді, зводячи це нерівність в натуральну ступінь n, отримаємо ab, ">
b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r 15 Властивість (2): Якщо r 0. По властивості (1) з умови a> b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r b> 0 випливає, що a -r> b -r. Помноживши обидві частини цієї нерівності на позитивне число a r b r, отримуємо b r> a r, тобто a r
16 Приклад 1. Порівняти числа: і Так як, а, то. Звівши це нерівність в негативну ступінь, отримуємо