§ 5.11. ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГІНА
Визначення переміщень в системах, що складаються з прямолінійних елементів постійної жорсткості, можна значно спростити шляхом застосування спеціального прийому обчислення інтеграла виду. У зв'язку з тим що в підінтегральний вираз входить твір зусиль є координатами епюр, побудованих для одиничного і дійсного станів, цей прийом називають способом перемноження епюр.
Його можна використовувати в разі, коли одна з перемножуєте епюр, наприклад прямолінійна; в цьому випадку (рис. Друга епюра може мати будь-який обрис (прямолінійний, ламане або криволінійне).
Підставами значення в вираз
де - диференціал площі епюри (рис. 17.11).
Інтеграл являє собою статичний момент площі епюри щодо осі (рис. 17.11).
Цей статичний момент можна висловити інакше:
де - абсциса центру ваги площі епюри
Але так як (див. Рис. 17.11)
Таким чином, результат перемноження двох епюр дорівнює добутку площі однієї з них на ординату інший (прямолінійною) епюри, взяту під центром ваги площі першої епюри.
Спосіб перемноження епюр запропонований в 1925 р студентом Московського інституту інженерів залізничного транспорту А. Н. Верещагіним, а тому він називається правилом (або способом) Верещагіна.
Зауважимо, що ліва частина виразу (26.11) відрізняється від інтеграла Мора відсутністю в ній жорсткості перерізу. Отже, результат виконаного за правилом Верещагіна перемноження епюр для визначення шуканого переміщення треба розділити на величину жорсткості.
Дуже важливо відзначити, що ордината повинна бути взята обов'язково з прямолінійною епюри. Якщо обидві епюри прямолінійні, то ординату можна взяти з будь-якої епюри. Так, якщо потрібно перемножити прямолінійні епюри і (рис. 18.11, а), то не має значення, що взяти: твір площі епюри на ординату під її центром ваги з епюри або твір Qkyt площі Q епюри на ординату під (або над) її центром тяжкості з епюри
Коли перемножуються дві епюри, що мають вид трапеції, то не треба знаходити положення центра ваги площі однієї з них. Слід одну з епюр розбити на два трикутника і помножити площу кожного з них на ординату під його центром ваги з іншої епюри. Наприклад, в разі, наведеному на рис. 18.11, б, отримаємо
В круглих дужках цієї формули твір лівих ординат обох епюр і твір правих ординат беруться з коефіцієнтом, рівним двом, а твори ординат, розташованих з різних сторін, - з коефіцієнтом, рівним одиниці.
За допомогою формули (27.11) можна множити епюри, що мають вид «перекручених» трапецій; при цьому твори ординат, що мають однакові знаки, беруться зі знаком плюс, а різні - мінус. У разі, наприклад, показаному на рис. 18.11, б, результат перемноження епюр у вигляді «перекрученої» і звичайної трапецій дорівнює, а в разі, показаному на рис. 18.11, г, дорівнює
Формула (27.11) може бути застосована і тоді, коли одна або обидві перемножуємо епюри мають вигляд трикутника. У цих випадках трикутник розглядається як трапеція з однієї крайньої ординатою, що дорівнює нулю. Результат, наприклад, множення епюр, показаних на рис. 18.11, д, дорівнює
Множення епюри в вигляді «перекрученої» трапеції на будь-яку іншу епюру можна виробляти і розчленовуючи «перекручену трапецію на два трикутника, як показано на рис. 18.11, е.
Коли одна з епюр (рис. 19.11) окреслена по квадратній параболі (від рівномірно розподіленого навантаження q), то її для перемноження з іншого епюр розглядають як суму (в разі, показаному на рис. 19.11, а) або різниця (в разі, показаному на рис. 19.11, б) трапецеидальной і параболічної епюр
Результат перемноження епюр, показаних на рис. 19.11, а, дорівнює після підстановки в нього отримуємо
Результат перемноження епюр, показаних на рис. 19.11, б, дорівнює після підстановки в нього - і отримуємо
В обох отриманих виразах в дужках стоять суми творів крайніх ординат обох епюр з учетверенное твором середніх ординат.
Зустрічаються випадки, коли жодна з перемножуєте епюр не є прямолінійною, але одна з них (або обидві) обмежена ламаними прямими лініями. У цих випадках для перемноження епюр попередньо розбивають їх на такі ділянки, в межах кожного з яких принаймні одна епюра прямолінійна. Так, наприклад, при перемножуванні епюр, показаних на рис. 20.11, а, б, можна розбити їх на дві ділянки і представити результат перемноження у вигляді суми Можна, перемножая ці ж епюри, розбити їх на три ділянки, як показано на рис. 20.11, в, г; в цьому випадку результат перемноження епюр дорівнює
При використанні правила Верещагіна доводиться обчислювати площі різних геометричних фігур і визначати положення їх центрів тяжкості. У зв'язку з цим в табл. 1.11 наведені значення площ і координати центрів ваги найбільш часто зустрічаються геометричних фігур.
Як приклад розглянемо застосування методу Верещагіна для визначення прогину точки С (під силою) балки, зображеної на рис. 16.11, а; при цьому врахуємо дію згинальних моментів і поперечних сил.
Одиничний стан балки, а також епюри внутрішніх зусиль в ній, викликаних навантаженням і одиничною силою показані на рис. 16.11, б, б, г, д, е.
За формулою (24.11), використовуючи спосіб Верещагіна при перемножуванні епюр, знаходимо
Цей результат збігається з результатом, отриманим шляхом інтегрування.
Визначимо тепер горизонтальне зміщення точки С рами, зображеної на рис. 21.11, а. Моменти інерції поперечних перерізів стійок рами і ригеля вказані на малюнку; .
Дійсний стан рами зображено на рис. 21.11, а. Епюра згинальних моментів для цього стану (вантажна епюра) показана на рис. 21.11, б.
В одиничному стані до точки С рами прикладена в напрямку шуканого переміщення (т. Е. Горизонтального) сила, що дорівнює одиниці.
Епюра згинальних моментів М для цього стану (одинична епюра) зображена на рис. 21.11, в.
Знаки згинальних моментів на епюрах можуть не вказуватися, так як відомо, що ординати епюр відкладені з боку стислих волокон кожного елемента.
Перемноживши за способом Верещагіна вантажну епюру з одиничною (рис. 21.11, б, в) і врахувавши при цьому різні значення моментів інерції поперечних перерізів стійок і ригеля рами, знайдемо шукане переміщення точки С:
Знак мінус при перемножуванні епюр узятий тому, що епюри і М розташовані з різних сторін елементів рами, і, отже, згинальні моменти і М мають різні знаки.
Негативне значення отриманого переміщення точки С означає, що ця точка зміщується не за направленням одиничної сили (рис. 21.11, в), а в протилежну сторону, т. Е. Вправо.
Наведемо тепер деякі практичні вказівки щодо застосування інтеграла Мора до різних випадків обчислення переміщень.
Визначення переміщень в балках, жорсткість перетинів яких постійна по всій довжині або в межах окремих ділянок, доцільно проводити, обчислюючи інтеграл Мора по правилу Верещагіна. Те саме можна сказати і до рам з прямолінійних стрижнів постійної або східчасто-змінної жорсткості.
При жорсткості перетинів елемента конструкції, що безперервно змінюється по його довжині, переміщення повинні визначатися шляхом безпосереднього (аналітичного) обчислення інтеграла Мора. Таку конструкцію можна розрахувати приблизно, замінивши її системою з елементами поступово-змінної жорсткості, після чого для визначення переміщень використовувати спосіб Верещагіна.
Спосіб Верещагіна може застосовуватися не тільки при визначенні переміщень, а й при визначенні потенційної енергії.