Правила диференціювання в математиці

Похідна алгебраїчній суми функцій

виражається наступною теоремою.

Теорема 1. Похідна суми (різниці) двох диференційовних функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій:

Слідство. Похідна кінцевої алгебраїчної суми функцій, що диференціюються дорівнює такій же сумі алгебри похідних доданків. наприклад,

(U - v + w) '= u' - v '+ w'

Похідну добутку функцій визначає

Теорема 2. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першої функції на похідну другої плюс добуток другого функції на похідну першої, т. Е.

(Uv) '= u'v + uv'

Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної (cv) '= cv' (з = const).

Слідство 2. Похідна твори кількох диференціюються дорівнює сумі творів похідною кожної з них на всі інші.

Наприклад, (uvw) '= u'vw + uv'w + uvw'

Похідна частки двох функцій

виражається наступною теоремою.

Теорема 3. Похідна частки двох функцій, що диференціюються визначається формулою

Похідну складної функції виражає

Теорема 4. Якщо y = f (u) і і = (ф (х)) - диференційовані функції своїх аргументів, то похідна складної функції у = f (ф (х)) існує і дорівнює добутку похідної цієї функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу по незалежній змінній, т. е.

Дуже часто в задачах з математики на похідні даються складні функції, наприклад, y = sin (cos5x). Похідна такої функції дорівнює -5sin5x * sin (cos5x)

Похідна оберненої функції