Рішення. Вводимо лінійну заміну (5.8), вибираючи С1 = 0, h1 = 0,5; С2 = 0,10, h2 = 10 -2.
Обчислюємо оцінки математичних очікувань за формулою (3.7).
Незміщені оцінки дисперсій знаходимо за формулою (3.8).
Розрахунок оцінки ковариации проводимо за формулою (5.9).
Оцінку коефіцієнта кореляції знаходимо за формулою (5.10).
Вибіркове рівняння лінійної регресії Y на Х.
.
або y - 0,0978 = - 0,00678 (x + 0,278).
Вибіркове рівняння лінійної регресії Х на Y.
.
або y - 0,0978 = - 0,0122 (x + 0,278).
Прямі регресії представлені на рис. 1, там же наведені експериментальні точки.
Мал. 1. Залежність зміни концентрації азоту в сталі (y)
при випуску з конвертера від початкової концентрації вуглецю (x)
За номограммам (див. Рис. П1 додатки в [1]) для значення r = - 0,746 (n = 9) знаходимо інтервал: - 0,95 <ρ <– 0,14. Так как значение ρ = 0 не принадлежит найденному доверительному интервалу, гипотеза о существовании линейной зависимости не противоречит экспериментальным данным с уровнем значимости α = 0,05.
Перевіримо гіпотезу про відсутність лінійної залежності між величинами X і Y за допомогою критерію (5.13). По таблиці квантилів розподілу Стьюдента знаходимо t0,975 (7) = 2,365. обчислимо
.
Так як | r | = 0,746> 0,667, приймаємо гіпотезу про існування лінійної залежності між величинами X і Y.
Отримані результати дозволяють зробити висновок про те, що зі збільшенням однієї з величин середнє значення іншої величини зменшується. Так як коефіцієнт кореляції значущий, можна користуватися рівняннями вибіркових прямих регресії для передбачення середнього значення однієї змінної за значенням іншого.
У звіті за типовим розрахунком повинні бути представлені всі проведені розрахунки, рівняння вибіркових прямих регресії. На кресленні повинні бути представлені рівняння прямих регресії, там же повинні бути проставлені всі експериментальні точки. У висновках сформулювати отриманий результат перевірки гіпотези про наявність (відсутність) лінійного взаємозв'язку між випадковими величинами. Якщо прийнята гіпотеза про наявність лінійного взаємозв'язку, зробити висновок про силу і характер зв'язку між величинами Х і Y.
Точність розрахунків оцінок математичного очікування - запасний знак у порівнянні з вихідними даними, оцінок дисперсій, середніх квадратичних відхилень, ковариации - три значущі цифри, оцінки коефіцієнта кореляції - три знаки після коми.
Порядок виконання роботи:
1. Розрахувати оцінки математичного очікування випадкових величин X1 і X2. оцінки елементів ковариационной матриці: дисперсій і коваріації. Для спрощення розрахунків і організації контролю рекомендується провести кодування даних, як це робилося в роботі 10.3. Контроль обчислень забезпечується повторенням розрахунку з іншими началами відліку. Результати повинні збігатися з точністю до можливих помилок округлення.
2. Обчислити оцінку коефіцієнта кореляції.
3. Користуючись номограмою ([1], стор.83), знайти довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції, перевірити гіпотезу про існування лінійної залежності між X1 і X2.
4. Знайти рівняння емпіричних прямих регресії X2 на X1 і X1 на X2. Побудувати ці прямі на одному кресленні. На той же графік нанести експериментальні точки.
5. Зробити висновок про силу і характер зв'язку між X1 на X2.
1. Карасьов В.А. Румшінскій Л.З. Організація Експерименту. -М. МИСиС, 1986, N105, стр.74-78.