При вирішенні показових нерівностей. приводяться до квадратнимнеравенствам. надходять так само, як в прикладах рішення показових рівнянь, що приводяться до квадратних рівнянь, т. е. роблять заміну змінних. отримують квадратне нерівність, яке вирішують, а потім повертаються до колишньої змінної.
Зробимо заміну: нехай (0,5) х = у. Отримуємо нерівність:
Розкладемо квадратний тричлен y 2 -3y + 2 на лінійні множники за формулою:
ax 2 + bx + c = a (x-x1) (x-x2), де х1 і х2 - корені квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0.
Знаходимо корені наведеного квадратного рівняння y 2 - 3 y + 2 = 0. Дискримінант D = b 2 -4ac = 3 2 -4 ∙ 1 ∙ 2 = 9-8 = 1 = 1 2. Так як дискримінант є повним квадратом, то застосуємо теорему Вієта: сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Вирішуємо нерівність: (у-1) (у-2)<0 методом интервалов.
Уявімо 9 х-1 у вигляді ступеня числа 3.
3 2 (x -1) <3 x -1 +6. Сделаем замену: 3 х-1 =у. Тогда получается квадратное неравенство: у 2 у 2-у-6<0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у 2 -у-6=0. Проверим, возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни являются целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b 2 -4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=5 2. Дискриминант является полным квадратом числа 5. поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: у1 +у2 =1, у1 ∙у2 =-6. Подходят значения: у1 = -2 и у2 = 3 . Розкладаємо ліву частину нерівності на лінійні множники, отримуємо: (У +2) (у-3)<0. Решаем полученное неравенство методом интервалов. 3 х-1 є (-2; 3), але так як негативних значень ступінь 3 х-1 приймати не може, то запишемо: 3 х-1 є (0; 3). Визначимо інтервал значень змінної х. 3 х-1 → 0 при х-1 → -∞, так як число 3 в ступені, яка прагне до мінус нескінченності, фактично буде рівним нулю, значить, х → -∞. Найпростішими вважаються показові нерівності виду: a x a y. (A x ≤a y. A x ≥a y). Так само, як і при вирішенні найпростіших показових рівнянь, однакові підстави ступенів опускають, але знак нового нерівності зберігають. якщо функція у = а х є зростаючою (а> 1); eсли ж показова функція у = а х убуває (0