Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
У прикладних задачах, наприклад в математичної ста-Тістик, при теоретичному вивченні емпіричних розбраті-поділів, що відрізняються від нормального розподілу, воз-ника необхідність кількісних оцінок цих відмінностей. Для цієї мети введені спеціальні безрозмірні характеристики.
Определеніе.Мода неперервної випадкової величини (Мо (X)) - це її найбільш ймовірне значення, для якого ймовірність pi або щільність ймовірності f (x) досягає максимуму.
Определеніе.Медіана неперервної випадкової величини X (Me (X)) - це таке її значення, для якого виконується рівність:
P (X
Геометрично вертикальна пряма x = Me (X) ділить площу фігури під кривою на дві рівні частини.
У точці X = Me (X), функція розподілу F (Me (X)) =
Знайти моду Mo, медіану Me і математичне очікування M випадкової величини X з щільністю ймовірності f (x) = 3x 2. при x Î [0; 1].
1. Щільність ймовірності f (x) максимальна при x = 1, тобто f (1) = 3, отже, Mo (X) = 1 на інтервалі [0; 1].
2. Для знаходження медіани позначимо Me (X) = b.
Так як Me (X) задовольняє умові P (X то P (-∞ b 3 =; b = »0,79 Відзначимо отримані 3 значення Mo (x), Me (X), M (X) на осі Ox: Определеніе.Асімметріей теоретичного розподілу називається відношення центрального моменту третього поряд-ка до кубу середнього квадратичного відхилення: Определеніе.Ексцессом теоретичного розподілу на-ни опиняються величина, яка визначається рівністю: де # 8210; центральний момент четвертого порядку. Для нормального розподілу. При отклоне-ванні від нормального розподілу асиметрія позитивна, якщо "довга" і більш полога частина кривої розподілу розташована праворуч від точки на осі абсцис, відповідаю-щей моді; якщо ця частина кривої розташована зліва від моди, то асиметрія негативна (рис. 1, а, б).
Ексцес характеризує "крутизну" підйому кривої розбраті-ділення в порівнянні з нормальною кривою: якщо ексцес поло-жителів, то крива має більш високу і гостру вершину; в разі негативного ексцесу порівнювана крива має нижчу та пологу вершину.
Слід мати на увазі, що при використанні зазначених характеристик порівняння опорними є припущення про однакові величинах математичного очікування і дис-персии для нормального і теоретичного розподілів.
Приклад. Нехай дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:
Знайти: асиметрію і ексцес теоретичного розподілу.
Знайдемо спочатку математичне очікування слу-чайної величини:
Потім обчислюємо початкові і центральні моменти 2, 3 і 4-го порядків і середньоквадратичне відхилення:
Тепер за формулами знаходимо шукані вели-чини:
В даному випадку "довга" частина кривої розподілу рас-покладена праворуч від моди, причому сама крива є не-скільки більш гостровершинності, ніж нормальна крива з тими ж величинами математичного очікування і дисперсії.
Теорема. Для довільної випадкової величини Х і будь-якого числа
# Тисяча двісті дев'яносто шість;> 0 справедливі нерівності:
# 8210; ймовірність протилежної нерівності.
Нехай X-витрата води на тваринницькій фермі (л).
За умовою М (Х) = 1000.
Тобто не менше, ніж 0,96.
Для біноміального розподілу нерівність Чебишева прийме вигляд: