Площа кола
Формула для обчислення площі круга вводиться в VI класі. Перед тим, як записати формулу для площі кола, учні з'ясовують залежність між довжиною кола та її діаметром. Важливо, звернути увагу учнів на ставлення. (- довжина кола, а - її діаметр) і показати, що для будь-якої окружності значення виразу = - є величина постійна, приблизно рівна 3,14.
Повне виведення формули площі кола виходить за рамки математичного матеріалу шостого класу, тому учням пропонується спрощений варіант отримання цієї формули:
На малюнку зображено коло і два квадрата ABCD і EFKM. Радіус кола дорівнює r, тому довжина сторони квадрата ABCD дорівнює 2r, а його площа. Площа трикутника EOF вдвічі менше площі квадрата AEOF, тому площа EFKM вдвічі менше площі квадрата ABCD, тобто дорівнює. Площа круга S більше площі квадрата EFKM, але менше площі квадрата ABCD:
Приблизно площа кола дорівнює. Можна довести, що
Площа довільного n-кутника
Окремо в школі площа довільного багатокутника не розглядається. Однак, в курсі геометрії є ряд завдань, в яких потрібно знайти площу довільного багатокутника. До того ж на практиці завдання про площу такого багатокутника зустрічається досить часто. Тому на уроках геометрії слід приділити належну увагу вирішенню подібних завдань. Методична цінність такого роду завдань полягає в тому, що вони, по-перше, добре ілюструють властивість адитивності площі, а, по-друге, допомагають учням розвинути навички знаходження площі трикутника різними способами.
Отже, основна ідея знаходження площі довільного n-кутника - це розбиття його на кінцеве число трикутників. В результаті підсумовування площ трикутників, що становлять даний n-кутник виходить шукана площа.
Знаходження площі n-кутника таким способом лежить в основі доведення теореми про площі трапеції.
Теорема: Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її підстав на висоту.
Доказ: Розглянемо трапецію АВСD з підставами АD і ВС, висотою ВН і площею S (див. Рис. 9).
Діагональ ВД розділяє трапецію на два трикутника АВД і ВСД, тому. Приймемо відрізки АD і ВН за основу і висоту трикутника АВD, а відрізки ВС і DК за основу і висоту трикутника ВСD. Тоді. Так як DК = ВН, то. Таким чином.
Площа правильного n-кутника
Висновок площі правильного n-кутника пов'язаний з радіусом вписаного в цей n-кутник кола і радіусом кола, описаного навколо нього. При виведенні цієї формули використовується розбиття n-кутника на n трикутників. Якщо S - площа даного правильного багатокутника, а - його сторона, Р - периметр, а r і R - радіуси відповідно вписаного і описаного кіл, то. Доведемо це: Поєднавши центр даного багатокутника з його вершинами, як показано на малюнку 10, ми розіб'ємо його на n рівних трикутників, площа кожного з яких дорівнює. Отже. Далі.
Площа криволінійної трапеції
Криволінійної називається трапеція, одна з бічних сторін якої - відрізок кривої.
Знаходження площі криволінійної трапеції розглядається в школі як одне із застосувань інтеграла. При розгляді геометричного сенсу інтеграла [4] в 11 класі в підручнику так і говориться: «Коротко про інтеграл можна сказати так: Інтеграл - це площа». Далі йде визначення інтеграла:
«Нехай дана позитивна функція f визначена на кінцевому відрізку [a, b]. Інтегралом від функції f на відрізку [a, b] називається площа її подграфіка ». «Подграфіком» тут називається фігура, обмежена графіком функції f, прямими x = a і x = b і віссю абсцис, тобто криволінійна трапеція.
Ідея знаходження площі криволінійної трапеції полягає в розбитті її на безліч прямокутників. По властивості адитивності площі, площа криволінійної трапеції наближено дорівнює сумі площ прямокутників. Точне ж значення площі криволінійної трапеції знаходять, переходячи від підсумовування до інтегрування.
Завдання: Знайти площу фігури, укладеної між дугами парабол і.
Рішення: Дана фігура обмежена графіками двох функцій і. які перетинаються в точці (1,1). Шукана площа є різниця площ криволінійних трапецій і.
Аналітично це можна записати як різниця двох інтегралів :.