2. Розіб'ємо довільно відрізок на частин точками
і виберемо на кожному частковому відрізку довільну точку. так щоб .
3. Відновимо перпендикуляри в точках до перетину з графіком.
4. Через отримані точки провести прямі, паралельні осі. отримаємо ступінчасту фігуру.
5. Площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі ступінчастою фігури:
6. Очевидно що при. де площа ступінчастою фігури прагне до площі криволінійної трапеції.
7. З іншого боку, площа ступінчастою фігури є інтегральною сумою для певного інтеграла.
8. Так як за умовою теореми функція неперервна на відрізку. то межа цієї суми при існує і дорівнює певному інтегралу від функції по:
9. Отже, і площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює визначеному інтегралу від функції по відрізку:
Геометричний сенс теореми: певний інтеграл від неотрицательной неперервної функції на відрізку чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції з основою. обмеженої зверху графіком функції.
Площа фігури розташованої під віссю Ox
Теорема 4. Пустьфункція неперервна на відрізку і. тобто крива і криволінійна трапеція, обмежена знизу цієї кривої, лежать під віссю. Тоді площа криволінійної трапеції. визначається за формулою:
1. Зобразимо малюнок відповідно до умовою теореми.
2. Розглянемо функцію.
3. Ця функція неотрицательна і неперервна на. і її графік лежить над віссю.
4. Криволінійна трапеція, обмежена зверху графіком функції на відрізку є дзеркальне відображення первісної трапеції.
5. Отже, фігури і конгруентний (рівні), і по властивості площ їх площі рівні.
6. Площа криволінійної трапеції виражається формулою:
7. Отже, по цій же формулі визначається площа заданої трапеції за умовою теореми. ч. т. д.
Площа фігури в декартовій системі координат
1. Розглянемо тепер більш загальний випадок, коли деякі частини кривої знаходяться над віссю. а інші - під віссю.
2. Зобразимо малюнок:
3. Тепер відповідно до двох попередніх теоремами площа фігури буде визначатися так:
Площа фігури, обмеженої зверху і знизу
1. Визначимо площу фігури, обмеженою знизу і зверху графіками функцій. . . для будь-кого. де. - безперервні і невід'ємні функції на.
2. Зобразимо малюнок:
3. Так як обидві функції невід'ємні, то площа цієї фігури дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій, обмежених зверху відповідно графіками функцій і.
4. Отже, площа фігури визначається за формулою:
Зауваження. Дана формула буде справедлива тоді і тільки тоді, коли і набувають від'ємних значень.