Задамо на відрізку
(А і b - кінцеві числа) неотрицательную безперервну функцію
. Зобразимо її графік і визначимо поняття площі фігури, обмеженої кривою
, віссю
, прямими
і
і обчислимо цю площу. Проведемо розбиття відрізка
на
частин точками, виберемо на кожному з отриманих відрізків
(J = 0, 1, ..., n -1) по довільній точці
визначимо значення
функції в цих точках і складемо суму: яку називають інтегральної суммойі яка дорівнює сумі площ прямокутників. Будемо тепер стремить все
до нуля, причому так, щоб максимальний (найбільший) частковий отре-зок розбиття прагнути до нуля. Якщо при цьому величина
прагнути до оп-ределенном межі
, який не залежить від способів розбиття і вибору точок
. тоді величину
назвемо площею нашої криволінійної фігури. Т. о .:
.
Відволікаючись від операції знаходження площі, будемо розглядати цю операцію як знаходження деякого числа
по даній функції
, заданої на відрізку
:.
Певним інтегралом від функції на відрізку
називається межа інтегральної суми, коли максимальний частковий відрізок розбиття прагнути до нуля.
Нехай задана безперервна на
функція
і нехай
є її Первісна. Теорема Ньютона-Лейбніца стверджує справедливість наступного рівності:
.
Основні методи інтегрування
Інтегрування заміною змінної (підстановкою)
нехай функція
визначена і диференційована на деякій множині
, і нехай
безліч всіх значень цієї функції. Нехай далі для функції
існує на безлічі
первісна функція
, т. е .. Тоді всюди на безлічі
для функції
існує первісна функція, рівна
, т. е.
.
Нехай нам потрібно обчислити інтеграл
і можна вибрати в якості нової змінної функцію
так, що, причому
легко інтегрується тобто .:
і - цей прийом обчислення називається інтегруванням шляхом заміни змінної.
Інтегрування по частинах
Нехай кожна з функцій
і
дифференцируема на безлічі
і, крім того, на цій множині існує первісна для функції
. Тоді на безлічі
існує первісна і для функції
, причому справедлива формула
.
Схожі статті
