Положення прямої в просторі цілком визначається завданням будь-якої її фіксованою точки М1 і вектора. паралельного цієї прямої.
Вектор. паралельний прямій, називається напрямних вектором цієї прямої.
Отже, нехай пряма l проходить через точку М1 (x1. Y1. Z1), що лежить на прямій паралельно вектору.
Розглянемо довільну точку М (x, y, z) на прямій. З малюнка видно, що.
Вектори і колінеарні, тому знайдеться таке число t. що. де множник t може приймати будь-яке числове значення в залежності від положення точки M на прямій. Множник t називається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М1 і М відповідно через і. отримуємо. Це рівняння називається векторним рівнянням прямої. Воно показує, що кожному значенню параметра t відповідає радіус-вектор деякої точки М. лежить на прямій.
Запишемо це рівняння в координатної формі. Зауважимо, що. і звідси
Отримані рівняння називаються параметричними рівняннями прямої.
При зміні параметра t змінюються координати x. y і z і точка М переміщається по прямій.
Скласти параметричні рівняння прямої по точці і направляючої вектору
Рішення закінчилося, не встигнувши початися:
Параметр «ТЕ» може приймати будь-які значення від «мінус нескінченності» до «плюс нескінченності», і кожному значенню параметра відповідає конкретна точка площині. Наприклад, якщо. то отримуємо точку.
Зворотній завдання: як перевірити, чи буде точка умови належати даній прямій?
Підставами координати точки в отримані параметричні рівняння:
З обох рівнянь слід, що. тобто, система сумісна і має єдиний розв'язок.
Розглянемо більш змістовні завдання:
Скласти параметричні рівняння прямої
Рішення. За умовою пряма задана в загальному вигляді. Для того щоб скласти параметричні рівняння прямої, потрібно знати її направляючий вектор і якусь точку, що належить даній прямій.
Знайдемо спрямовує вектор:
Тепер потрібно знайти якусь точку, що належить прямій (підійде будь-яка), в цих цілях загальне рівняння зручно переписати у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:
Напрошується, звичайно, точка
Складемо параметричні рівняння прямої: