Глава 4. Лінії другого порядку на площині
§ 29. Властивості еліпса
Скористаємося канонічним рівнянням еліпса для виявлення його властивостей.
1. Геометричні властивості еліпса.
a) Нехай точка належить еліпсу # 947; (), Тобто координати цієї точки задовольняють рівняння
тобто або. тобто вершини еліпса належать прямим.
б) У силу (1) якщо. то і. отже точка - центр симетрії еліпса.
в) Якщо. то і і. тобто і - осі симетрії еліпса.
Теорема 48. Еліпс # 947; не має центрів симетрії і осей симетрії крім центру і осей координат і відповідно.
Визначення. Ось називається фокальній (або першої) віссю симетрії еліпса.
Визначення. Ось - друга вісь симетрії еліпса.
Визначення. Осі симетрії перетинаються з еліпсом в чотирьох точках - вершинах еліпса.
Визначення. Відрізки і - відповідно мала і велика осі еліпса # 947 ;.
Визначення. . - відповідно мала і велика піввісь еліпса.
Розглядаючи явне рівняння еліпса
можна по таблиці побудувати зображення еліпса.
2. Ексцентриситет еліпса.
Так як для еліпса. то. причому тоді і тільки тоді, коли. тобто коли # 947; - окружність.
З'ясуємо залежність форми еліпса від. Так як . то. але. Отже. тобто або
Досліджуємо рівняння (3). Для цього розглянемо систему еліпсів, що мають однакову піввісь. але різні ексцентриситети. тоді:
a) в силу (3) при (окружність). отже.
b) в силу (3) при. отже.
Висновок. Еліпс в залежності від змінюється від кола () до все більш «витягнутої» уздовж осі фігури при.