Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежні змінні, їх функції та похідні (або диференціали) цієї функції.
Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більше, то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням в приватних похідних.
Найвищий порядок похідних, що входять в рівняння, називається порядком диференціального рівняння.
1. Завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку
Завданням Коші називається знаходження будь-якого приватного рішення диференціального рівняння виду у = j (х, С0), який задовольняє початковим умовам в (х0) = у0.
Теорема Коші. (Теорема про існування та єдиності розв'язку диференціального рівняння 1-го порядку)
Якщо функція f (x, y) неперервна в деякій області D в площині XOY і має в цій області безперервну приватну похідну
, то яка б не була точка (х0. у0) в області D, існує єдине рішення
, певне в деякому інтервалі, що містить точку х0. приймає при х = х0 значення j (х0) = у0. тобто існує єдине рішення диференціального рівняння.
1.1. геометричний сенс
Геометрично мова йде про знаходження інтегральної кривої, що проходить через задану точку М (х, у).
Виключно велике значення для теорії диференціальних рівнянь і її додатків має питання про суттєвості рішення задачі Коші і про єдиності цього рішення. Будемо говорити, що завдання Коші
має єдине рішення, якщо можна вказати таку околиця точки х
що в ній визначено рішення (1.1) і не існує рішення
визначеного в тій же околиці (1.2), значення якого не збігається зі значеннями рішення (1.1) хоч в одній точці околиці (1.2), відмінною від точки х. В іншому випадку говорять, що єдність розв'язку задачі Коші порушена.
Наявність властивості єдиності залежить від диференціального рівняння і від началіних даних х, у.
1.2. механічний сенс
2. Загальна і приватна рішення диференціального рівняння першого порядку
Спільним рішенням диференціального рівняння називається така функція, що диференціюється y = j (x, C), яка при підстановці в вихідне рівняння замість невідомої функції звертає рівняння в тотожність.
Властивості спільного рішення:
1) Оскільки постійна С - довільна величина, то взагалі кажучи диференціальне рівняння має безліч рішень.
2) При будь-яких початкових умовах х = х0. у (х0) = у0 існує таке значення С = С0. при якому рішенням диференціального рівняння є функція у = j (х, С0).
Рішення у = у (х), в кожній точці якого зберігається єдність розв'язку задачі Коші, називається приватним рішенням диференціального рівняння.
Приклад. Знайти спільне рішення диференціального рівняння
Загальне рішення диференціального рівняння шукається за допомогою інтегрування лівої і правої частин рівняння, яке попередньо перетворено наступним чином: