Графік функції, що диференціюється на інтервалі, є на цьому інтервалі опуклим. якщо графік цієї функції в межах інтервалу лежить не вище будь-якої своєї дотичній (рис. 1).
Графік функції, що диференціюється на інтервалі, є на цьому інтервалі увігнутим. якщо графік цієї функції в межах інтервалу лежить не нижче будь-якої своєї дотичній (рис. 2).
Теореми про опуклості функції та точках перегину
(Про умови опуклості або угнутості графіка функції)
Нехай функція визначена на інтервалі і має безперервну, що не рівну нулю в точці другу похідну. Тоді, якщо всюди на інтервалі, то функція має увігнутість на цьому інтервалі. якщо, то функція має опуклість.
Точкою перегину графіка функції називається точка, що розділяє проміжки опуклості і угнутості.
(Про необхідну умову існування точки перегину)
Якщо функція має перегин у точці, то чи не існує.
(Про достатній умови існування точки перегину)
- перша похідна неперервна в околиці точки;
- друга похідна або не існує в точці;
- при переході через точку змінює свій знак,
тоді в точці функція має перегин.
Схема дослідження функції на опуклість, увігнутість
- Знайти другу похідну функції.
- Знайти точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує.
- Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної знайденої точки і зробити висновок про інтервали опуклості і точках перегину.
Завдання. Знайти інтервали опуклості / угнутості функції
Рішення. Знайдемо другу похідну заданої функції:
Знаходимо точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, для цього вирішуємо рівняння:
Досліджуємо знак другої похідної ліворуч і праворуч від отриманої точки:
Так як на проміжку друга похідна, то на цьому проміжку функція опукла; в силу того, що на проміжку друга похідна - функція увігнута. Так як при переході через точку друга похідна змінила знак, то ця точка є точкою перегину графіка функції.
Відповідь. Точка - точка перегину графіка функції.
На проміжку функція опукла, на проміжку функція увігнута.