транскрипт
1 Опуклі стрічкові матриці і їх позитивна визначеність * В. Н. РАЗЖЕВАЙКІН Анотація. Доводиться теорема про позитивну визначеності стрічкових матриць широко використовуваних в завданнях математичної біології. Ключові слова: стрічкова матриця задає функція позитивно певна матриця. Стрічкові матриці * Стрічковою будемо називати квадратну матрицю A = a таку що a = f (ij для деякої незростаюча функції f (x певної на відрізку [0]. Кожну таку відповідну функцію будемо називати задає для стрічкової матриці. Якщо при цьому можна підібрати гладку задающую функцію так щоб виконувалася нерівність f '' (x 0 то таку стрічкову матрицю ми будемо називати опуклою. Виконання додаткових нерівностей f (f (0 звужує безліч опуклих стрічкових матриць до деякого безлічі невід'ємних незростаюча опуклих ленто чних матриць (бо в цьому випадку можна вибрати функцію f (x так щоб на додаток до її опуклості виконувалися також і нерівності f '(x 0 f (x 0 яке ми будемо називати множиною матриць. У разі коли всі три нерівності для задає функції виконуються строго на всьому відрізку [0] ми будемо говорити про безліч строгих матриць. Матриці зазначеного типу з'являються цілком природним чином при побудові і дослідженні математичних моделей конкуруючих біологічних популяцій описуваних за допомогою обліку їх екологічних ніш см. наприме р [] гл. VI і бібліографію там же. В роботі [] було запропоновано доказ того факту що сувора матриця є позитивно визначеною. У пропонованій статті зазначений результат узагальнюється на випадок всіх матриць за винятком матриці всі елементи якої однакові. * Робота виконана за підтримки українського фонду фундаментальних досліджень (проект Технічно методика докази позитивної визначеності подібна до запропонованої в [] базисними складовими якої з'явилися вкладення стрічкової матриці в циклічну і опукле розкладання циклічної матриці по циклічним ж матрицями спеціального виду. Перестановка цих двох дій місцями дозволяє отримати точніші результати причиною чого служить з'являється при цьому додаткова можливість вкладення стрічкових матриць входящ їх в базис неотрицательного розкладання (так званих реперних матриць в стрічкові ж матриці більшої розмірності. Попередні відомості В цьому розділі викладаються деякі формулювання і пов'язані з ним загальновідомі результати необхідні для подальшого. Нехай A і B симетричні матриці причому. Будемо говорити що матриця B вкладена в A і писати BA якщо існує головний мінор матриці A збігається з матрицею B. якщо λ ± (A позначають відповідно верхнє і нижнє власні значення симетричною матриці A то наслідком теореми про ділення Штурма (див. [3] 7.8 є імплікація (BA (λ (A λ (B λ + (B λ + (A (легко перевіряється також на основі екстремальних властивостей меж спектра. Останнє міркування дозволяє крім того встановити для симетричних матриць A і B однакової розмірності нерівності ( ± ± ± ± λ (A + B ± λ (A + λ (B. (84 Праці ІСА РАН. Том 64. / 04
2 Опуклі стрічкові матриці і їх позитивна визначеність Зокрема для неотрицательного розкладання з (отримуємо A = ρ A ρ 0 = = (A λ (A ρ λ (3 так що для позитивної визначеності симетричною матриці A досить підібрати таке її невід'ємне розкладання що реперні симетричні матриці A виявляться неотрицательно певними причому принаймні одна з них входить в розкладання з ненульовим коефіцієнтом буде позитивно визначеною. Іноді (це робилося в [] виявляється більш зручним розглядати не обмежують про бщності опуклі розкладання з додатковим нормує умовою = ρ =. матриця A = a називається циркулянт (див. [3] .4 якщо a = c (ij для деякої періодичної функції c (x + = c (x. Всі власні значення циркулянт обчислюються = 0 λ = c (ε де ε = cos + isi = 0 корінь скалярного рівняння ε = (для перевірки цього достатньо переконатися в тому що такого своїм значенням відповідає власний століття-тор (λ λ T. в окремому випадку симетричного циркулянт c (= c ((що є очевидно стрічкової матрицею його коріння обчислюються λ = c (cos. = 0 В окремих випадках непарного а також парного при c = 0 λ = c (0 + c (cos (4 = (тут [x] ціла частина x. 3. неотрицательную розкладання опуклих матриць Оскільки безліч стрічкових матриць фіксованої розмірності інваріантної стосовно лінійним перетворенням то розкладання будь-якої матриці A = f (ij з цієї множини по деякому базису реперних стрічкових матриць A = f (ij однозначно визначається разложе- ням вектора (f (0 f (f (по базису складається з векторів (f (0 f ( f ((f (0 f (f (. зокрема невід'ємним розкладання векторів і тільки їм відповідають невід'ємні розкладання матриць. У цьому розділі доводиться що безліч матриць фіксованої розмірності утворює опуклий конус в лінійному просторі тієї ж розмірності. Для формулювання результату нам буде потрібно опис базису цього конуса. Визначення. Нехай. B (матрицею назвемо стрічкову матрицю з задає функцією b (x для = x і b (x = ax 0 для. Теорема. для будь-якої -матриці A розмірності існує єдине розкладання A = ρb (ρ 0 = причому кожна сума такого виду являє собою -Матриця. При цьому строгим -Матриця відповідає випадок ρ> 0 =. Доведення. Покладемо для задає функції f (x индуктивно по убутному = 0 f (x = f (x + f (x = f + (xb + (xb + f ((для x [0]. Якщо f (x задає функція -матриці A розмірності то неважко бачити властивості опуклості (несуворого монотонного убування і невід'ємності зберігаються при ітераціях причому на кожній з них довжина носія (т. е. інтервалу на якому f (x> 0 скорочується на одиницю так що f (x 0. Коефіцієнти 0 Праці ІСА РАН. Том 64. / 04 85
3 Чисельні методи В. Н. Разжевайкін ρ = f (0 b (= визначають розкладання задає функції f (x єдиність якого випливає з невироджені матриці b (= = 0. Протилежне твердження випливає з його здійсненності для реперних матриць B (і інваріантності по відношенню до невід'ємним лінійним комбінаціям. сувора позитивність задає функції f (x -матриці відповідає нерівності ρ = f (> 0 сувора монотонність з урахуванням опуклості нерівності ρ f (f (=> 0 b (сувора опуклість рівномірному (т. е. кожен раз рівно на одиницю скорочення носіїв фун ций f (x при визначальних їх ітераціях що еквівалентно позитивності ρ для =. Позитивна визначеність реперних матриць Теорема. Реперні матриці B (при <являются положительно определенными. Доказательство. Пусть. Обозначим через C ( симметричный циркулянт с задающей функцией λ ( C( λ (( B(. (6 Поскольку в указанном случае для четного выполнено [ ] так что c = 0 то в силу (4 и равенства c ( = 0 для вычисления λ ( C( можно воспользоваться формулой λ ( C ( = i + cos. = 0 = В силу тождества cos ( x ( x = ( cos x + cos = выполненного для всех x π q q Z и в частности для x = = с учетом того что минимум не может достигаться при = 0 находим из (6 для случая <нижнюю оценку λ ( B( λ ( для ( λ ( = sup i + = cos. (7 cos В случае взаимно простых и все выражений под знаком минимума в (7 положитель- 0 <что обеспечивает положи- ны так что ( λ тельную определенность каждой из матриц B( при выполнении неравенства <. Более того если и не являются взаимно x x простыми то минимум в (7 достигает нулевого значения так что все такие исключаются из рас- c ( x = ax 0 + смотрения при нахождении супремума. При взаимно для 0 x. Поскольку при x [ ] выполнено тождество простых и минимум числителя в (7 достигается при некотором целом [ ] таком что c ( x 0 то B( C ( при π ± ( od и равен si. Поскольку знаменатель не превосходит то в качестве нижней <+ (5 так что в соответствии с ( в этом случае λ можно взять также величину оценки для ( ˆ λ ( = si (8 3 + ибо согласно (5 должно выполняться i = + а на интервале длины + 86 Труды ИСА РАН. Том 64. /04
if ($ this-> show_pages_images $ Page_num doc [ 'images_node_id']) 
4 Опуклі стрічкові матриці і їх позитивна визначеність завжди знайдеться число взаємно просте с. В даному випадку розглядається інтервал з лівим кінцем. З урахуванням першого нерівності в (5 i можна скористатися ще більш грубою оцінкою замінивши в (8 на. При + вона дає асимптотику ˆ C λ (> 3 представляющуюся надзвичайно заниженою оскільки безпосередні розрахунки при доступних для огляду значних розмірності матриці вказують на другу ступінь замість третьої. Тут слід зазначити також що побудована оцінка ˆ λ (для B (в рамках використаної конструкції (т. е. з використанням циркулянт неулучшаема принаймні для непарних. Це пов'язано з тією обставиною що в такому випадку і = (+ (тут вибирається з умови щоб взаємно прості так що i мінімум в (7 досягається при (= + що забезпечує значення знаменника близьке до двох. Слідство. Для оцінки нижньої межі власних значень матриць B (при <можно использовать величины (7 или (8. Доказательство. См. доказательство теоремы. Следствие. Любая -матрица отличная от матрицы с постоянными коэффициентами является положительно определенной. Доказательство. Поскольку матрица B ( является неотрицательно определенной то в силу (3 отсюда с учетом теоремы получаем утверждение следствия. Литература. Свирежев Ю. М. Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М. Наука с. Логофет Д. О. Об устойчивости одного класса матриц возникающих в математической теории биологических сообществ // Доклады АН СССР 975 т. 6 с Беллман Р. Введение в теорию матриц. М. Наука с. Разжевайкин Валерий Николаевич. Гл. н. с. ВЦ РАН Д. ф.-м. н профессор. Окончил МФТИ в 978г. Количество печатных работ: более 30.Область научных интересов: математическое моделирование биология экономика опт. управление. E-ai: Труды ИСА РАН. Том 64. /04 87
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ Укаїни Московський державний інститут електроніки і математики Технічний університет) Л.А. Вабить УМОВИ ОПТИМАЛЬНОСТІ В конечномерного нелінійних
м Векторна алгебра та її застосування для студентів і аспірантів математичних, фізичних і технічних спеціальностей м МГ Любарський Цей підручник виник на основі лекцій з вищої математики, які
Державний комітет Укаїни з вищої освіти Далекосхідний державний університет Опуклі функції та їх властивості Навчально-методичний посібник з курсу "Методи Оптимізації"
ГЛАВА III. ОСНОВИ ТЕОРІЇ Морс В. А. Шарафутдинов В цьому розділі, якщо не визначено інше, різноманіття означає різноманіття без краю. Марстон Морс перший звернув увагу на важливі зв'язку між топологією
1 5 Транспортна задача Важливий окремий випадок задач лінійного програмування транспортні завдання Це математичні моделі різноманітних прикладних задач по оптимізації перевезень Поширеність в
3. ЛІНІЙНЕ ПРОСТІР. Лінійне простір Визначення. Кажуть, що на множині R визначено операція додавання елементів, якщо кожної впорядкованої парі елементів х, у R ставиться у відповідність
Міністерство освіти і науки Укаїни Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти Смеласкій державний університет імені
Тема 2-11: Власні вектори і власні значення А. Я. Овсянніков Уральський федеральний університет Інститут математики та комп'ютерних наук кафедра алгебри і дискретної математики алгебра і геометрія
1 Функції безперервні на відрізку (теореми Больцано-Коші, Вейєрштрасса, Кантора). Функціонали безперервні на компакті. 1.1 Теорема про проміжні значення Теорема 1. (Больцано-Коші) Нехай функція f неперервна на відрізку [a, b], причому f (a) f (b). Тоді для будь-якого числа C, укладеного між f (a) і f (b) знайдеться точка γ (a, b), що f (γ) = C. Доказ. Нехай, наприклад, f (a) = A 0. Для доведення теореми достатньо показати, що існує така точка γ (a, b), що g (γ) = 0. Розділимо відрізок [a, b] точкою x 0 на два рівних по довжині відрізка, тоді або g (x 0) = 0 і, отже, шукана точка γ = x 0 знайдена, або g (x 0) 0 і тоді на кінцях одного з отриманих проміжків функція g приймає значення різних знаків, точніше, на лівому кінці значення менше нуля, на правому - більше. Позначимо цей відрізок [a 1, b 1] і розділимо його знову на два рівних по довжині відрізка і т.д. В результаті, або через кінцеве число кроків прийдемо до шуканої точці γ, в якій g (γ) = 0, або отримаємо послідовність вкладених відрізків [a n, b n] по довжині прагнуть до нуля і таких, що g (a n)