Розглянемо нерівномірний безнапірні плавно змінюється рух грунтового потоку води в фільтраційному шарі ґрунту (рис. 11.3). Кривизна ліній струму, зображених на малюнку, дуже мала.
Мал. 11.3. Схема плавно змінюється руху фільтраційного потоку
Так як кривизна ліній струму невелика, то живі перетину можна вважати плоскими. Відстань між перетинами 1-1 і 2-2 для ліній струму буде однаковим і рівним dl. Втрати напору на ділянці dl щодо площини порівняння 0-0 рівні dH. Для будь-якої лінії струму при переході від перетину 1-1 до перетину 2-2 значення dH буде однаково. Отже, при плавно змінюється нерівномірному русі фільтраційного потоку величина гідравлічного (п'єзометричного) ухилу стосовно всіх точок розглянутих перетинів, через які проходять лінії струму, є постійною. Гідравлічний ухил буде відповідати ухилу вільної поверхні води в обраній області фільтрації. Якщо гідравлічний (п'єзометричний) ухил постійний, то і швидкості u в різних точках обраного живого перетину фільтраційного потоку будуть однакові. Таким чином, середня швидкість в даному живому перерізі фільтраційного потоку буде дорівнює швидкості і в будь-якій його точці:
Фільтраційний витрата Q через живий переріз. перпендикулярний лініям струму,
Формула (11.16) для визначення середньої швидкості в плоскому вертикальному перерізі при плавно змінюється рух фільтраційного потоку в грунтах називається формулою Дюпюї.
Формула Дюпюї є окремим випадком закону Дарсі.
З усього викладеного вище випливає, що при нерівномірному плавно змінюється рух фільтраційного потоку гідравлічний ухил і середня швидкість фільтрації в межах обраного поперечного перерізу залишаються постійними у напрямку фільтраційного руху в певній галузі.
Формула Дюпюї дозволяє визначати середню швидкість фільтрації і витрата в плоскому вертикальному перетині фільтраційного потоку рідини при його плавно змінюється ламинарном русі.