Розглянемо два подання многочлена ділення кола у вигляді твору непріводімих множників:
над полем з елементів - полем розкладання многочлена:
У першому розкладанні - многочлени, Непріводімие в кільці. у другому - все множники першого ступеня, по одному для кожного ненульового елемента поля. Порівняння уявлень (3) і (4) показує, що кожен ненульовий елемент поля є коренем одного з многочленів.
Визначення. Нехай - поле з елементів і. Многочлен найменшій мірі. такий що. називається мінімальним многочленом елемента.
Неважко переконатися, що в розкладанні (3) представлені всі мінімальні багаточлени ненульових елементів. Мінімальний многочлен нуля є просто.
У наступній теоремі дається повний опис множників з розкладання (3) і тим самим всіх мінімальних многочленів елементів кінцевого поля.
Теорема 2. многочлени ступені. (), Є дільником многочлена ділення кола
тоді і тільки тоді, коли ділить.
Таким чином, непріводімимі делителями многочлена ділення кола є всілякі многочлени всіх ступенів, які є дільниками числа.
Наприклад, в (2) наведено розкладання многочлена ділення кола с. . в цьому випадку з теореми слід, що в кільці є один непріводімий многочлен другого ступеня і 3 многочлена 4-го ступеня, вони фігурують в розкладанні (2).
Для доведення теореми потрібні два допоміжних факту.
Лемма 1. Многочлен є дільником многочлена в тому і тільки в тому, випадку, коли.
Цей факт справедливий для многочленів над будь-яким полем. Справді, в будь-якому полі має місце формула
(Треба просто розкрити дужки в лівій частині). Припустимо, що ділиться на. . Підставляючи в (5) замість вираз. отримаємо
Якщо не ділиться на. (). то
тобто при діленні многочленів виходить залишок. не дорівнює нулю, так як.
Слідство. Число є дільником числа в тому і тільки в тому випадку, коли.
Це випливає з формул (6) і (7), в яких треба замінити на.
Розглядаючи вище поняття характеристики поля, ми ввели поняття підполя - сукупності елементів, які самі утворюють поле щодо операцій в осяжний поле, Якщо - поле характеристики. то воно містить просте підполі. яке буде входити і в будь-яке інше підполі.
Лемма 2. Якщо - поле з елементів, a - його підполі з елементів, то.
Доведення. По теоремі 1 в поле є елемент порядку. Так як, з іншого боку. порядок елемента повинен ділити. За слідству з леми 1 це можливо лише тоді, коли.
Доказ теореми 2.
Нехай - не приводиться многочлен ступеня і ділить. Побудуємо, слідуючи загальним способом побудови полів, поле. . Воно складається з 0 і елементів, які є країнами многочлена. Отже, многочлени і мають спільне коріння. а так як неприводим, то. Так як . то. Звідси.
Нехай - не приводиться дільник ступеня многочлена. Розглянемо будь-яке поле з елементів. За слідству з теореми 3 про примітивне елементі поле з елементів є полем розкладання многочлена. тому має в корінь. Поле разом з елементом містить і все поле. Таким чином, поле () містить підполі. що складається з елементів. За лемі 2 це можливо лише в тому випадку, коли. Теорема доведена.
Лекція 12
Единственность кінцевого поля. Число непріводімих многочленів в