Натуральне число 2

Попередня ↔ Наступна

Натуральні числа - числа. що виникають природним чином при рахунку (як в сенсі перерахування, так і в сенсі обчислення).

Існують два підходи до визначення натуральних чисел - числа, які використовуються при:

перерахування (нумерування) предметів (перший. другий. третій ...) - підхід, загальноприйнятий у більшості країн світу (в тому числі і в Росії).
позначенні кількості предметів (немає предметів. один предмет. два предмета ...). Прийнято в працях Бурбак. де натуральні числа визначаються як потужності кінцевих множин.

Негативні і нецілі числа - натуральними числами не є.

Безліч всіх натуральних чисел прийнято позначати знаком \ (\ mathbb \).

Існує безліч натуральних чисел - для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше його.

Натуральні числа можна використовувати для рахунку (одне яблуко, два яблука і т. П.).

Аксіоми Пеано [ред]

Введемо функцію \ (S \), яка зіставляє числу \ (x \) наступне за ним число.

\ (1 \ in \ mathbb \) (\ (1 \) є натуральним числом);
Якщо \ (x \ in \ mathbb \), то \ (S (x) \ in \ mathbb \) (Число, наступне за натуральним, також є натуральним);
\ (\ Nexists x \ in \ mathbb \ (S (x) = 1) \) (1 годі було ні за яким натуральним числом);
Якщо \ (S (b) = a \) і \ (S (c) = a \), тоді \ (b = c \) (якщо натуральне число \ (a \) безпосередньо випливає як за числом \ (b \) , так і за числом \ (c \), то \ (b = c \));
Аксіома індукції. Нехай \ (P (n) \) - деякий одномісний предикат. залежить від параметра - натурального числа \ (n \). тоді:

якщо \ (P (1) \) і \ (\ forall n \; (P (n) \ Rightarrow P (S (n))) \), то \ (\ forall n \; P (n) \) ( якщо деякий вислів \ (P \) вірно для \ (n = 1 \) (база індукції) і для будь-якого \ (n \) при допущенні, що вірно \ (P (n) \), вірно і \ (P (n +1) \) (індукційне припущення). то \ (P (n) \) вірно для будь-яких натуральних \ (n \)).

Теоретико-множинне визначення [ред]

Відповідно до теорії множин. єдиним об'єктом конструювання будь-яких математичних систем є безліч.

Таким чином, і натуральні числа вводяться, виходячи з поняття безлічі, за двома правилами:

Числа, задані таким чином, називаються ординальне.

Перші кілька ординальних чисел і відповідні їм натуральні числа:

Класи еквівалентності цих множин щодо біекція також позначають 0, 1, 2, ....

Іноді, в іноземній і перекладній літературі, в першій і третій аксіомах замінюють \ (1 \) на \ (0 \). У цьому випадку нуль вважається натуральним числом.

У російській літературі зазвичай нуль виключений з числа натуральних чисел \ (0 \ notin \ mathbb \), а безліч натуральних чисел з нулем позначається як \ (\ mathbb_0 \).

Якщо в визначення натуральних чисел включений нуль, то безліч натуральних чисел записується як \ (\ mathbb \), а без нуля як \ (\ mathbb ^ * \).

Операції над натуральними числами [ред]

До замкнутим операціями (операцій, що не виводить результат з безлічі натуральних чисел) над натуральними числами відносяться такі арифметичні операції:

Додавання. Cлагаемое + Доданок = Сума
Множення. Множник * множник = Твір
Піднесення до степеня \ (a ^ b \), де a - підстава ступеня і b - показник ступеня. Якщо основа і показник натуральні, то і результат буде натуральним числом.

Додатково розглядають ще дві операції. З формальної точки зору вони не є операціями над натуральними числами, так як не визначені для всіх пар чисел (іноді існують, іноді немає).

Віднімання. Зменшуване \ (- \) Від'ємник = Різниця. При цьому Зменшуване має бути більше віднімається (або дорівнює йому, якщо вважати 0 натуральним числом).
Розподіл. Ділене / Дільник = (Приватне, Залишок). Приватне \ (p \) і залишок \ (r \) від ділення \ (a \) на \ (b \) визначаються так: \ (a = p * b + r \), причому \ (0 \ leqslant r \) . Зауважимо, що саме остання умова забороняє розподіл на нуль, так як інакше \ (a \) можна представити у вигляді \ (a = p * 0 + a \), тобто можна було б вважати приватним \ (0 \), а залишком = \ (a \).

Слід зауважити, що саме операції додавання і множення є основоположними. Зокрема, кільце цілих чисел визначається саме через бінарні операції додавання і множення.

Теоретико-множинні визначення [ред]

Скористаємося визначенням натуральних чисел як класів еквівалентності кінцевих множин. Будемо позначати клас еквівалентності множини A щодо біекція як [A]. Тоді основні арифметичні операції визначаються наступним чином:

де \ (A \ sqcup B \) - диз'юнктне об'єднання множин. \ (A \ times B \) - пряме твір. \ (A ^ B \) - безліч відображень з B в A. Можна показати, що отримані операції на класах введені коректно, тобто не залежать від вибору елементів класів, і збігаються з індуктивними визначеннями.

Основні властивості [ред]

Комутативність складання. \ (\, \! A + b = b + a \)
Комутативність множення. \ (\, \! Ab = ba \)
Асоціативність додавання. \ (\, \! (A + b) + c = a + (b + c) \)
Асоціативність множення. \ (\, \! (Ab) c = a (bc) \)
Дистрибутивність множення щодо складання. \ (\, \! \ Begin a (b + c) = ab + ac \\ (b + c) a = ba + ca \ end \)

Алгебраїчна структура [ред]

Додавання перетворює безліч натуральних чисел в напівгрупу з одиницею, роль одиниці виконує 0. Множення також перетворює безліч натуральних чисел в напівгрупу з одиницею, при цьому одиничним елементом є 1. За допомогою замикання щодо операцій додавання-віднімання і множення-ділення виходять групи цілих чисел \ (\ mathbb Z \) і раціональних позитивних чисел \ (\ mathbb Q ^ * _ + \) відповідно.

Натуральні числа в російській мові [ред]

Числа від 1 до 10 - один (1), два (2), три (3), чотири (4), п'ять (5), шість (6), сім (7), вісім (8), дев'ять (9) , десять (10).

Числа від 11 до 20 - одинадцять (11), дванадцять (12), тринадцять (13), чотирнадцять (14), п'ятнадцять (15), шістнадцять (16), сімнадцять (17), вісімнадцять (18), дев'ятнадцять (19) , двадцять (20).

Числа від 30 до 90 - 30 (тридцять), сорок (40), п'ятдесят (50), шістдесят (60), сімдесят (70), вісімдесят (80), дев'яносто (90).

Числа від 100 до 900 - сто (100), двісті (200), триста (300), чотири сотні (400), п'ятсот (500), шістсот (600), сімсот (700), вісімсот (800), дев'ятсот (900) .