Мал. 8. і для рівномірного розподілу
Ймовірність влучення рівномірно розподіленим с. в. Х в інтервалі дорівнює:
До випадкових величин, що мають рівномірний розподіл, відносяться: час очікування пасажиром транспорту, що курсує з певним інтервалом; помилка округлення числа до цілого (вона рівномірно розподілена на [-0,5; 0,5]), і взагалі випадкові величини, про які відомо, що всі їх значення лежать всередині деякого інтервалу, і всі вони мають однакову ймовірність (щільність).
2.Непреривная с. в. Х розподілена по показовому закону, якщо її щільність ймовірності має вигляд:
де - параметр показового розподілу. Функція розподілу має вигляд:
Графіки щільності і функції розподілу для показового розподілу представлені на рис. 9.
Мал. 9. і для показового розподілу
Ймовірність влучення випадкової величини. розподіленої по показовому закону, в інтервалі:
Математичне сподівання і дисперсія для показового розподілу:
Показовий розподіл використовується в додатках теорії ймовірностей, особливо в теорії масового обслуговування, у фізиці, в теорії надійності. Воно використовується для опису розподілу випадкової величини виду: тривалість роботи приладу до першої відмови, тривалість часу обслуговування в системі масового обслуговування і т.д.
3. Нормальний розподіл (розподіл Гауса) - це розподіл н. с. в. Х. характеризується щільністю ймовірності:
де - математичне очікування;
- середньоквадратичне відхилення с. в. Х.
Той факт, що с. в. Х має нормальний розподіл з параметрами і. скорочено записується так:
Функція розподілу має вигляд:
де - функція Лапласа.
Графіки щільності і функції розподілу для нормального розподілу представлені на рис. 10.
Мал. 10. і для нормального розподілу
Імовірність того, що с. в. Х прийме значення, що належить інтервалу дорівнює:
Мода і медіана для нормально розподіленої с. в. Х дорівнюватимуть:.
Коефіцієнти асиметрії та ексцесу рівні: і.
Нормальним законом підпорядковуються помилки вимірювань, величини зносу деталей в механізмах, зростання людини, помилки при стрільбі, величина шуму в радіоприймальному пристрої і т.д.
Імовірність того, що с. в. Х. розподілена по нормальному закону, відхилиться від свого математичного очікування на величину, меншу позитивного числа дорівнює:
Полога в рівність. отримаємо:
тобто відхилення с. в. Х від свого математичного очікування менше, ніж на - майже достовірна подія.
Отримуємо відоме «правило трьох сигм». яке стверджує, що нормально розподілена с. в. Х практично не приймає значень поза інтервалу.
1. Потяги даного маршруту міського трамвая йдуть з інтервалом 5 хв. Пасажир підходить до зупинки в довільний момент часу. Яка ймовірність появи пасажира не раніше ніж через хвилину після відходу попереднього вагона, але не пізніше ніж за дві хвилини до відходу наступного поїзда? Знайдіть.
Рішення. Час очікування поїзда є с. в. Х. має рівномірний розподіл ймовірностей. З умови задачі; . Тоді, застосовуючи формулу отримаємо:
2. Час t розформування складу через гірку - випадкова величина, підпорядкована показовому закону. Нехай - середнє число поїздів, які гірка може розформувати за 1 годину. Визначте ймовірність того, що час розформування складу більше 6 хв. але не менше 24 хв. Знайдіть.
Рішення. Використовуючи формулу. знаходимо:.
3. Випадкова величина - час роботи електролампочки має показовий розподіл. Визначте ймовірність того, що час роботи лампочки буде не менше 600 годин, якщо середній час роботи 400 годин.
Рішення. За умовою завдання математичне очікування с. в. Х дорівнює 400 годин, отже, (так як). Шукана ймовірність. де і . Остаточно,.
4. Ціна ділення шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Показання амперметра округлюють до найближчого цілого ділення. Знайдіть ймовірність того, що при відліку буде зроблена помилка, що перевищує 0,02 А.
Рішення. Помилку округлення відліку можна розглядати як випадкову величину Х. яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділами. Щільність рівномірного розподілу. де - довжина інтервалу, в якому укладені можливі значення Х; поза цим інтервалом. У розглянутій задачі довжина інтервалу, в якому укладені можливі значення Х. дорівнює 0,1, тому. Легко здогадатися, що помилка відліку перевищить 0,02, якщо вона буде укладена в інтервалі (0,02; 0,08).
5. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне очікування ; дисперсія. Знайдіть ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення в інтервалі (4; 7).
За умовою завдання маємо:. Підставивши ці дані в формулу
6. Вважається, що відхилення довжини виготовлених деталей від стандарту є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина (математичне очікування) см, середнє відхилення см. Знайдіть ймовірність того, що відхилення довжини від стандартної складе по абсолютній величині не більше 0,6 см.
Рішення. Якщо Х - довжина деталі, то за умовою задачі ця величина повинна бути в інтервалі. де. Використовуємо формулу:
Підставивши дані отримаємо:
Отже, ймовірність того, що виготовляються деталі по довжині будуть в межах від 39,4 до 40,6 см, становить 0,8864.
7. Діаметр деталей, виготовлених заводом, є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина діаметра см, середнє відхилення. В яких межах можна практично гарантувати довжину діаметра цієї деталі, якщо за достовірне приймається подія, ймовірність якого дорівнює 0,9973.
За умовою завдання маємо:
Застосовуючи формулу. отримаємо рівність:
або. За табл. А.2 знаходимо, що таке значення функція Лапласа має при х = 3. отже; звідки. Таким чином, можна гарантувати, що довжина діаметра буде змінюватися в межах від 2,47 до 2,53 см.
8. Випадкові значення ваги зерна розподілені нормально. Математичне сподівання ваги зерна одно 0,15 г, середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,03 м Нормальні сходи дають зерно, вага яких більше 0,1 г. Визначте: а) відсоток насіння, від яких слід очікувати нормальні сходи; б) величину, яку не перевищить вага окремого зерна з ймовірністю 0,99.
Нехай с. в. Х - вага зерна. За умовою .
а) Відсоток насіння, що дають нормальні сходи - це ймовірність отримати нормальний всход від взятого навмання зерна. За умовою нормальний всход буває у зерен, вага яких більше 0,1 м Отже, ті зерна, вага яких задовольняє умові. дають нормальні сходи. Визначаємо ймовірність цієї події.
Таким чином, від 95,2% слід очікувати нормального всхода;
б) позначимо шукану величину через. Знаходимо її з умови або. Вираз для ймовірності в лівій частині запишемо через функцію Лапласа:
Звідси знаходимо значення функції Лапласа:. За табл. А.2 знаходимо значення аргументу для значення функції 0,49; воно дорівнює 2,33, тоді. звідси.
Таким чином, вага взятого зерна не буде перевищувати 0,22 г з імовірністю 0,99.
9. Маса вагона - с. в. Х. підпорядкована нормальному закону розподілу з математичним очікуванням т, середнім квадратичним відхиленням т. Покажіть виконання «правила трьох сигм».
Для підтвердження правила трьох сигм спочатку знайдемо межі відхилення.
Ймовірність влучення с. в. Х в інтервал (2,3; 7,7) дорівнює:
Значить, правило трьох сигм виконується.