Наведемо теорему існування та єдиності рішення для рівняння, дозволеного щодо похідною.
Теорема.Существует єдине рішення рівняння
певне в деякому околі точки і задовольняє умові. для якого де - один з дійсних коренів рівняння. якщо в замкнутій околиці точки
функція задовольняє умовам:
1) неперервна по всіх аргументів;
2) похідна існує і відмінна від нуля;
3) існує обмежена по модулю похідна.
У точках особливого рішення повинно бути порушено принаймні одна з умов цієї теореми. У диференціальні рівняння, що зустрічаються в прикладних задачах, умови 1) і 3) зазвичай виконуються, але умова часто порушується. Отже, в точках особливого рішення повинні одночасно виконуватися дві умови:
Зазвичай замінюють і розглядають систему рівнянь
Виключаючи з цих рівнянь. отримуємо рівняння
Визначення. Безліч точок (крива на площині), яке визначається рівнянням. називається - дискримінантний безліччю точок (- дискримінантної кривої) рівняння (1).
Дискримінантний крива може складатися з однієї або декількох кри-
вих. Якщо рівняння (1) має особливе рішення, то воно знаходиться серед цих - дискримінантних кривих.
Зауважимо, що в точках, які відповідають рівнянню (3), не обов'язково порушується єдність розв'язку рівняння (1). Це випливає з того, що умови теореми є тільки достатніми для єдиності рішення, але не необхідними і, отже, порушення якого - небудь умови теореми дає тільки необхідні умови існування особливого рішення. В - дискримінантного безліч точок, крім особливого рішення, може входити безліч кратних точок інтегральних кривих, таких як точки загострення, вузлові точки, точки дотику і т.д. які, взагалі кажучи, можуть і не бути інтегральними кривими. Наприклад, геометричне місце вузлових точок інтегральних кривих не може бути інтегральною кривою, так як в вузлових точках напрямок дотичної до інтегральної кривої не збігається з напрямком дотичної до кривої, що складається з вузлових точок.