Комбінаторика це розділ математики, в которомізучаются способи підрахунку числа елементів в кінцевих множинах. Формули комбінаторики використовують при безпосередньому обчисленні ймовірностей.
Безлічі елементів, що складаються з одних і тих же різних елементів і відрізняються один від одного тільки їх порядком, називаються перестановками цих елементів. Число всіляких перестановок з п елементів позначають через = (читається ен-факторіал), де. наприклад,. .
Зауваження - Для порожнього безлічі приймається угода - порожня множина можна впорядкувати тільки одним способом; за визначенням вважають.
Розміщеннями (або впорядкованими вибірками без повернення) називають безлічі, складені з п різних елементів по т елементів, які відрізняються або складом елементів, або їх порядком. Число всіх можливих розміщень визначається формулою (читається розміщення m елементів з n).
Поєднаннями (або неупорядкованими вибірками без повернення) з п різних елементів по т називаються множест-ва, що містять т елементів з числа п заданих, і які відрізняють-ся хоча б одним елементом. Число сполучень з п елементів по т обо-позначають:. Це число виражається формулою (читається поєднання m елементів з n).
Відзначимо, що числа перестановок, розміщень і сполучень пов'язані рівністю.
Зауваження - Вище передбачалося, що всі п елементів різні. Якщо ж деякі елементи повторюються, то в цьому випадку безлічі з повтореннями обчислюють за іншими формулами.
Наприклад, якщо серед елементів є елементів одного виду, елементів іншого виду і т. Д. То число перестановок з повтореннями визначається формулою. де + +. + =.
Впорядковані вибірки, елементи яких можуть повторюватися, називають упорядкованими вибірками з поверненнями. Число всіх можливих способів вибору т елементів з п елементів визначає-ся формулою.
Невпорядковані вибірки, елементи яких можуть повторюватися, називають неупорядкованими вибірками з поверненнями. Число всіх можливих способів вибору т елементів з п елементів визначає-ся формулою.
При вирішенні завдань комбінаторики використовують такі правила.
Правило суми. Якщо деякий об'єкт А може бути вибраний з безлічі об'єктів цього виду т способами, а інший об'єкт В може бути вибраний з безлічі об'єктів цього виду п способами, то вибрати або А, або В можна т + п способами.
Правило твори. Якщо об'єкт А можна вибрати з безлічі об'єктів цього виду т способами і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати з безлічі об'єктів цього виду п способами, то пара об'єктів (А, В) в зазначеному порядку мо-же бути обрана т • п способами.
Для обчислення числа комбінацій зручно користуватися таблицею 1.
Таблиця 1 -способи вибору m елементів з n елементів
а) що це цифри 1 і 2;
б) що це непарні і різні цифри;
в) тільки те, що цифри непарні.
Рішення. а) Простір елементарних фіналів даного експерименту складається з 2 елементів: W =, (n = 2).
Всі елементарні результати даного простору W різновірогідні. Таким чином, для визначення ймовірностей всіх подій, пов'язаних з цим досвідом, можемо скористатися класичним методом визначення ймовірності. Число випадків, сприятливих події A =, дорівнює 1, т. К. При наборі тільки однієї комбінації цифр номер буде набраний правильно: m = 1.
Вирішимо цю задачу, використовуючи формули комбінаторики.
Обчислимо число способів вибору двох цифр з двох - вибірка впорядкована, без повернення:. (N = 2). Число випадків, сприятливих події А. дорівнює 1, т. К. При наборі тільки однієї комбінації цифр номер буде набраний правильно: m = 1.
б) Простір елементарних фіналів даного експерименту складається з елементів:
Всі елементарні результати даного простору W різновірогідні. Таким чином, для визначення ймовірностей всіх подій, пов'язаних з цим досвідом, можемо скористатися класичним методом визначення ймовірності. Число випадків, сприятливих події B =, дорівнює 1, т. К. При наборі тільки однієї комбінації цифр номер буде набраний правильно: m = 1.
Вирішимо цю задачу, використовуючи формули комбінаторики.
Обчислимо число способів вибору двох цифр з п'яти (1, 3, 5, 7, 9) - вибірка впорядкована, без повернення. (N = 20). Число випадків, сприятливих події B. дорівнює 1, т. К. При наборі тільки однієї комбінації цифр номер буде набраний правильно: m = 1.
в) Простір елементарних фіналів даного експерименту складається з елементів:
Всі елементарні результати даного простору W різновірогідні. Таким чином, для визначення ймовірностей всіх подій, пов'язаних з цим досвідом, можемо скористатися класичним методом визначення ймовірності. Число випадків, сприятливих події С =, дорівнює 1, т. К. При наборі тільки однієї комбінації цифр номер буде набраний правильно: m = 1.
Вирішимо цю задачу, використовуючи формули комбінаторики.
Обчислимо число способів вибору двох цифр з п'яти (1, 3, 5, 7, 9) - вибірка упорядкована, з поверненням:. (N = 25). Число випадків, сприятливих події С. дорівнює 1, т. К. При наборі тільки однієї комбінації цифр номер буде набраний правильно: m = 1.
Приклад 10 На п'яти однакових картках написані літери: до, н, і, г, а. Картки перемішують і навмання витягують по одній, розташовуючи на столі одна за одною. Яка ймовірність отримати слово книга?
Обчислимо число способів перестановок п'яти карток:. (N = 120). Число випадків, сприятливих події А. дорівнює 1: m = 1.
Приклад 11 На десяти однакових картках написані літери: м, а, т, е, м, а, т, і, до, а. Картки перемішують і навмання витягують по одній, розташовуючи на столі одна за одною. Яка ймовірність отримати слово математика?
Обчислимо число способів перестановок десяти карток з повтореннями по формулі. . де = 2 (число повторень букви м), = 3 (число повторень букви а), = 2 (число повторень букви т), = 1 (число повторень букви е), = 1 (число повторень букви і), = 1 (число повторень букви к).
Число випадків, сприятливих події А. дорівнює 1: m = 1.
Приклад 12 У відділі працюють 3 жінки і 4 мужчіни.Среді працівників відділу розігруються 3 квитка в театр. Яка ймовірність того, що серед власників квитків виявляться:
б) 1 чоловік і 2 жінки?
Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна розподілити 3 квитка серед 7 осіб, вибірка невпорядкована без повернення:.
Визначимо число випадків, що сприяють події А, тобто число способів розподілу 3 квитків серед 3 жінок:.
Імовірність події А Р (А) =.
Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна розподілити 3 квитка серед 7 осіб, вибірка невпорядкована без повернення.
Визначимо число випадків, що сприяють події В, тобто число способів розподілу 3 квитків серед 1 чоловіки і 2 жінок: (число чоловіків з 4, які можуть отримати квиток, дорівнює 4), а число груп по дві жінок з 3, які можуть отримати квитки в театр, так само.
Твір = 12 дорівнює числу сприяють випадків розподілу трьох квитків серед працівників відділу так, щоб один квиток отримав чоловік і два - жінки.
Імовірність події В Р (В) =.