Доступно з ліцензією 3D Analyst.
Інструмент Сплайн (Spline) використовує метод інтерполяції, який оцінює значення, використовуючи математичні функції, які зводять до мінімуму загальну кривизну поверхні, що призводить до побудови згладженої поверхні, яка проходить точно через вхідні точки.
концептуальний фон
Концептуально, опорні точки витягуються на висоту їх величини. Сплайн згинає лист гуми, який проходить через вхідні точки при зведенні до мінімуму загальної кривизни поверхні. Він встановлює математичну функцію на задану кількість найближчих вхідних точок при проходженні через опорні точки. Цей метод найкраще підходить для несильно мінливих поверхонь, наприклад, рельєфу, висот грунтових вод або концентрації забруднюючих речовин.
Основна форма інтерполяції по методу сплайнів з мінімальною кривизною накладає на інтерполятор дві основні умови:
- Поверхня повинна проходити точно через точки з даними.
- Поверхня повинна мати мінімальну кривизною. Накопичена сума квадратів других похідних поверхні, взятих для кожної точки поверхні, повинна бути мінімальною.
Базова методика мінімальної кривизни також розглядається як інтерполяція по методу тонкостінної плити (thin plate). Вона забезпечує побудову згладженої (безперервної і диференціюється) поверхні, поряд з безперервними поверхнями першої похідної. Швидкі зміни в градієнті або ухилі (перша похідна) можуть статися по сусідству з опорними точками; отже, ця модель не підходить для оцінки другої похідної (кривизни).
Базова методика інтерполяції може бути застосована при використанні нульового значення для аргументу Вага (Weight) до інструменту Сплайн (Spline).
типи сплайна
Використовується два типи побудови сплайнів: Регулязірованний (Regularized) і С натягом (Tension). Регуляризоване тип створює згладжену, поступово змінюється поверхню зі значеннями, які можуть виходити за межі діапазону опорних точок. Тип З натягом контролює жорсткість поверхні відповідно до характером модельованого явища. Він створює менш згладжену поверхню зі значеннями, тісніше обмеженими діапазоном опорних даних.
Тип сплайна регуляризоване (Regularized)
Опція REGULARIZED змінює критерії мінімізації таким чином, що в ці критерії включається третя похідна. Параметр Вага (Weight) задає вагу, присвоєний третій похідною під час мінімізації; ця вага в літературі носить назву τ (тау). Високі значення цього параметра призводять до побудови більш згладженої поверхні. Підходять значення від 0 до 0,5. Добре підходять значення від 0 до 0.5. Використання цієї опції забезпечує побудову згладженої поверхні, поряд із згладженими поверхнями першої похідної. Ця методика корисна в тих випадках, коли необхідно обчислити другу похідну проінтерполірованной поверхні.
Тип сплайна З натягом (Tension)
Опція TENSION модифікує критерії мінімізації таким чином, що в критерії мінімізації включаються елементи першої похідної. Параметр Вага (Weight) задає вагу, присвоєний елементів першої похідної в процесі мінімізації; ця вага в літературі носить назву Φ (фі). Нульове значення ваги призводить до використання базової Сплайн-інтерполяції по методу тонкостінної плити (thin plate). Використання більш високого значення ваги зменшує жорсткість плити, і в межі, в міру того, як фі прямує до нескінченності, поверхня наближається за формою до мембрани або гумовим листам, які проходять через опорні точки. Проінтерполірованная поверхню є згладженої. Перші похідні неперервні, але не згладжені.
Розширені можливості пошуку сплайна
Подальший контроль за вихідний поверхнею здійснюється за допомогою двох додаткових параметрів: вага і кількість точок.
Параметр Вага (Weight)
Для методу сплайна регуляризоване (Regularized) параметр Вага (Weight) визначає вагу третє похідних поверхні в вираженні мінімізації кривизни. Чим більше вага, тим більше згладжена вихідна поверхня. Значення, введені для цього параметра, повинні бути більше або дорівнювати нулю. Зазвичай використовуються значення 0, 0,001, 0,01, 0,1 і 0,5.
Для методу сплайна З натягом (Tension) параметр Вага (Weight) визначає вагу натягу. Чим більше вага, тим більше груба вихідна поверхня. Введені символи повинні бути більше або дорівнювати нулю. Зазвичай використовуються значення 0, 1, 5 і 10.
Параметр Кількість точок (Number of points)
Параметр Кількість точок (Number of points) визначає кількість точок, які використовуються в обчисленні кожної інтерпольованої осередки. Чим більше вхідних точок ви задасте, тим більше на кожну клітинку впливатимуть віддалені точки і тим більше згладженої буде вихідна поверхня. Чим більше кількість точок, тим більше часу займе обробка вихідного растру.
рівняння сплайна
Алгоритм, який використовується для інструменту Сплайн (Spline) використовує наступну формулу для інтерполяції поверхні:
N - кількість точок.
j - коефіцієнти, знайдені на підставі рішення системи лінійних рівнянь.
r j - це відстань з точки (x, y) в точку j -ю.
T (x, y) і R (r) визначаються по-різному, в залежності від обраної опції.
Для обчислювальних цілей весь простір вихідного растру ділиться на блоки або регіони, рівні за розміром. Число регіонів за напрямками x і y однаково, вони мають форму прямокутника. Число регіонів визначається шляхом ділення загальної кількості точок у вхідному наборі точок на число, задане для числа точок. Для менш рівномірно розподілених даних регіони можуть містити значно различающееся кількість точок, при цьому кількість точок є тільки грубим середнім. Якщо в одному будь-якому з регіонів число точок менше восьми, регіон буде розширено до того розміру, при якому в нього потраплять мінімум вісім точок.
Для опції регуляризоване
a i - коефіцієнти, отримані в результаті рішення системи лінійних рівнянь.
r - відстань між шуканої і опорною точкою.
- параметр Вага (Weight).
K o - модифікована функція Бесселя.
c - константа, рівна 0,577215.
Для опції З натягом
a1 - коефіцієнт, отриманий в результаті рішення системи лінійних рівнянь.
r - відстань між шуканої і опорною точкою.
2 - параметр Вага (Weight).
K o - модифікована функція Бесселя.
c - константа, рівна 0,577215.
Регіональна обробка вихідних даних
Для обчислювальних цілей весь простір вихідного растру ділиться на блоки або регіони, рівні за розміром. Число регіонів за напрямками x і y однаково, вони мають форму прямокутника. Число регіонів визначається шляхом ділення загальної кількості точок у вхідному наборі точок на число, задане для числа точок. Для менш рівномірно розподілених даних регіони можуть містити значно различающееся кількість точок, при цьому кількість точок є тільки грубим середнім. Якщо в одному будь-якому з регіонів число точок менше восьми, регіон розширюється до того розміру, при якому в нього потраплять мінімум вісім точок.
література
Franke, R. 1982. Згладжена інтерполяція дискретних даних локальними сплайнами. Журнал "Computer and Mathematics with Applications". Vol. 8. No. 4. pp. 273-281. Great Britain.
Mitas, L. H. Mitasova. 1988. Варіаційний підхід до проблеми інтерполяції. Журнал "Computer and Mathematics with Applications". Vol. 16. No. 12. pp. 983-992. Great Britain.