Якщо розглянути електричний ланцюг. що складається з послідовно з'єднаних джерела змінного струму, резистора, індуктивності і конденсатора, де U - миттєве значення змінної напруги, а i - це ток в поточний момент часу, причому U змінюється за синусоїдальним (косинусоидальной) закону, то для струму можна записати:
Відповідно до закону збереження заряду, в будь-який момент часу струм в ланцюзі має одне і те ж значення. Отже на кожному елементі буде падати напруга: UR- на активному опорі, UC - на конденсаторі, і UL - на індуктивності. Згідно з другим правилом Кірхгофа. напруга джерела дорівнюватиме сумі падінь напруг на елементах ланцюга, і ми маємо право записати:
Зауважимо, що відповідно до закону Ома I = U / R, і тоді U = I * R. Для активного опору значення R визначається виключно властивостями провідника, воно не залежить ні від струму, ні від моменту часу, отже струм збігається по фазі з напругою, і можна записати:
А ось конденсатор в колі змінного струму має реактивним ємнісним опором, і напруга на конденсаторі весь час відстає по фазі від струму на π / 2. значить пишемо:
Котушка, що володіє індуктивністю. в колі змінного струму виступає реактивним індуктивним опором, і напруга на котушці в будь-який момент часу випереджає по фазі струм на π / 2. отже, для котушки запишемо:
Можна записати тепер суму падінь напруг, але в загальному вигляді для прикладеного до ланцюга напруги можна записати:
Видно, що тут має місце певний зсув фаз, пов'язаний з реактивною складовою загального опору кола при протіканні по ній змінного струму.
Оскільки в ланцюгах змінного струму і струм і напруга змінюються згідно із законом косинуса, причому миттєві значення відрізняються між собою лише фазою, то фізики придумали в математичних розрахунках розглядати струми і напруги в ланцюгах змінного струму як вектори, оскільки тригонометричні функції можна описати через вектори. Отже, запишемо напруги у вигляді векторів:
Використовуючи метод векторних діаграм, можна вивести, наприклад, закон Ома для даної послідовного ланцюга в умовах протікання по ній змінного струму.
Відповідно до закону збереження електричного заряду, в будь-який момент часу струм у всіх частинах даної ланцюга однаковий, так відкладемо ж вектори струмів, побудуємо векторну діаграму струмів:
Нехай в напрямку осі Х буде відкладений ток Im - амплітудне значення струму в ланцюзі. Напруга на активному опорі збігається по фазі з струмом, значить ці вектори будуть сонаправленнимі, відкладемо їх з однієї точки.
Напруга на конденсаторі відстає на π / 2 від струму, отже відкладаємо його під прямим кутом вниз, перпендикулярно вектору напруги на активному опорі.
Напруга на котушці випереджає на π / 2 струм, отже відкладаємо його під прямим кутом вгору, перпендикулярно вектору напруги на активному опорі. Припустимо, що для нашого прикладу UL> UC.
Оскільки ми маємо справу з векторним рівнянням, складемо вектори напруг на реактивних елементах, і отримаємо різницю. Вона буде для нашого прикладу (ми взяли що UL> UC) спрямована вгору.
Додамо тепер вектор напруги на активному опорі, і отримаємо, за правилом векторного додавання, вектор сумарного напруги. Так як брали максимальні значення, то і отримаємо вектор амплітудного значення загальної напруги.
Так як струм змінювався за законом косинуса, то напруга теж змінюється за законом косинуса, але зі зрушенням фаз. Між струмом і напругою є постійний зсув фаз.
Запишемо закон Ома для загального опору Z (імпедансу):
З векторних зображень по Теоремі Піфагора можемо записати:
Після елементарних перетворень отримаємо вираз для повного опору Z ланцюга змінного струму, що складається з R, C і L:
Тоді отримаємо вираз для закону Ома для кола змінного струму:
Зауважимо, що найбільше значення струму вийдуть в ланцюзі при резонансі в умовах, коли: