Починаємо розглядати власне процес обчислення подвійного інтеграла і знайомитися з його геометричним змістом.
Подвійний інтеграл чисельно дорівнює площі плоскої фігури (області інтегрування). Це найпростіший вид подвійного інтеграла, коли функція двох змінних дорівнює одиниці:.
Спочатку розглянемо задачу в загальному вигляді. Зараз ви чимало здивуєтеся, наскільки все дійсно просто! Обчислимо площу плоскої фігури. обмеженої лініями. Для визначеності вважаємо, що на відрізку. Площа цієї фігури чисельно дорівнює:
Зобразимо область на кресленні:
Виберемо перший спосіб обходу області:
І відразу важливий технічний прийом: повторні інтеграли можна вважати окремо. Спочатку внутрішній інтеграл, потім - зовнішній інтеграл. Даний спосіб настійно рекомендую початківцям в темі чайникам.
1) Обчислимо внутрішній інтеграл, при цьому інтегрування проводиться по змінної «ігрек»:
Невизначений інтеграл тут найпростіший, і далі використовується банальна формула Ньютона-Лейбніца, з тією лише різницею, що межами інтегрування не є числа, а функції. Спочатку підставили в «ігрек» (первісну функцію) верхня межа, потім - нижню межу
2) Результат, отриманий в першому пункті необхідно підставити під зовнішній інтеграл:
Більш компактна запис всього рішення виглядає так:
Отримана формула - це в точності робоча формула для обчислення площі плоскої фігури за допомогою «звичайного» певного інтеграла! Дивіться урок Обчислення площі за допомогою визначеного інтеграла. там вона на кожному кроці!
Тобто, завдання обчислення площі за допомогою подвійного інтеграла мало чим відрізняється від завдання знаходження площі за допомогою визначеного інтеграла! Фактично це одне і теж!
Відповідно, ніяких труднощів виникнути не повинно! Я розгляну не дуже багато прикладів, так як ви, по суті, неодноразово стикалися з цим завданням.
За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури. обмеженої лініями.
Рішення: Зобразимо область на кресленні:
Площа фігури обчислимо за допомогою подвійного інтеграла за формулою:
Виберемо наступний порядок обходу області:
Тут і далі я не буду зупинятися на тому, як виконувати обхід області, оскільки в першому параграфі були наведені дуже докладні роз'яснення.
Як я вже зазначав, початківцям краще обчислювати повторні інтеграли окремо, цього ж методу буду дотримуватися і я:
1) Спочатку за допомогою формули Ньютона-Лейбніца розбираємося з внутрішнім інтегралом:
2) Результат, отриманий на першому кроці, підставляємо в зовнішній інтеграл:
Пункт 2 - фактично перебування площі плоскої фігури за допомогою певного інтеграла.
Ось така ось дурна і наївна завдання.
Цікавий приклад для самостійного рішення:
За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури. обмеженої лініями. .
Зразок чистового оформлення рішення в кінці уроку.
У прикладах 9-10 значно вигідніше використовувати перший спосіб обходу області, допитливі читачі, до речі, можуть змінити порядок обходу і обчислити площі другим способом. Якщо не допустите помилку, то, природно, вийдуть ті ж самі значення площ.
Але в ряді випадків більш ефективний другий спосіб обходу області, і на закінчення курсу молодого ботана розглянемо ще кілька прикладів на цю тему:
За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури. обмеженої лініями.
Рішення: нас з нетерпінням чекають дві параболи з бзік, які лежать на боці. Посміхатися не потрібно, схожі речі в кратних інтеграли зустрічаються часто.
Як найпростіше зробити креслення?
Уявімо параболу у вигляді двох функцій:
- верхня гілка і - нижня гілка.
Аналогічно, уявімо параболу у вигляді верхньої та нижньої гілок.
Далі рулить Поточечное побудова графіків, в результаті чого виходить ось така химерна фігура:
Площа фігури обчислимо за допомогою подвійного інтеграла за формулою:
Що буде, якщо ми виберемо перший спосіб обходу області? По-перше, цю область доведеться розділити на дві частини. А по-друге, ми будемо спостерігати цю сумну картину:. Інтеграли, звичайно, не надскладного рівня, але ... існує стара математична приказка: хто з корінням дружний, тому залік не потрібен.
Тому з непорозуміння, яке дано в умові, висловимо зворотні функції:
Зворотні функції в даному прикладі володіють тією перевагою, що задають відразу всю параболу цілком без всяких там листя, жолудів гілок і коренів.
Відповідно до другого способу, обхід області буде наступним:
Таким чином:
Як то кажуть, відчуйте різницю.
1) Розправляємося з внутрішнім інтегралом:
Результат підставляємо у зовнішній інтеграл:
Інтегрування по змінної «ігрек» не повинно бентежити, була б буква «зю» - чудово б проинтегрировал і по ній. Хоча хто прочитав другий параграф уроку Як обчислити об'єм тіла обертання. той уже не відчуває ні найменшої незручності з інтеграцією по «ігрек».
Що добавити…. Усе!
Для перевірки своєї техніці інтегрування можете спробувати обчислити. Відповідь має вийти точно таким же.
За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури. обмеженої лініями
Це приклад для самостійного рішення. Цікаво відзначити, що якщо ви спробуєте використовувати перший спосіб обходу області, то фігуру доведеться розділити вже не на дві, а на три частини! І, відповідно, вийде три пари повітряних інтегралів. Буває й таке.
Майстер клас підійшов до завершення, і пора переходити на гросмейстерський рівень - Як обчислити подвійний інтеграл? Приклади рішень. Постараюся в другій статті так не маніаче =)
Рішення і відповіді:
Приклад 2: Рішення: Зобразимо областьна кресленні:
Виберемо наступний порядок обходу області:
Таким чином:
Перейдемо до зворотних функцій:
Змінимо порядок обходу області:
Таким чином:
відповідь:
Приклад 4: Рішення: Перейдемо до прямих функцій:
Виконаємо креслення:
Змінимо порядок обходу області:
відповідь:
Приклад 6: Рішення: Виконаємо креслення:
Перейдемо до зворотних функцій:
Змінимо порядок інтегрування, розділивши область інтегрування на дві частини. При цьому порядок обходу області:
1), 2)
відповідь:
Приклад 8: Рішення: Зобразимо область інтегрування на кресленні:
Перейдемо до зворотних функцій:
Змінимо порядок обходу тіла:
відповідь:
Приклад 10: Рішення: Зобразимо областьна кресленні:
Площа фігури обчислимо за допомогою подвійного інтеграла за формулою:
Виберемо наступний порядок обходу області:
Таким чином:
1)
2)
відповідь:
Приклад 12: Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні:
