Інтервального оцінкою випадкової величини називається безліч точкових оцінок, які накривають невідомий параметр. Такий інтервал називають довірчим інтервалом (Рис. 1.10). Нижньою межею інтервалу називається найменше значення ознаки в інтервалі, а верхньою межею - найбільше значення ознаки в ньому. Величина інтервалу являє собою різницю між верхньою і нижньою межами інтервалу.
Якщо інтервал розташований симетрично щодо центру нормального розподілу (щодо математичного очікування а), так що вліво і вправо взяті однакові відрізки # 8710; x (Рис. 1.10.б), то ширина інтервалу буде 2 # 8710; x. Іноді в рішенні задач довірчим інтервалом називають полуширину # 8710; x. Межі інтервалу можна позначити як # 945; і # 946 ;. Кожному довірчого інтервалу ставиться у відповідність довірча ймовірність Рілі надійність. Ця оцінка дозволяє відповісти на питання, якою ймовірністю знаходиться невідоме значення оцінюваного параметра генеральної сукупності всередині заданого інтервалу.
І нехай ми не зможемо точно вказати, де на числовій осі знаходиться невідомий параметр, але ми можемо вказати довірчий інтервал 2 # 8710; x. в якому він знаходиться з довірчою ймовірністю Р.
Для вирішення завдання інтервального оцінювання перейдемо від змінної x до змінної t в функції Гаусса. Нехай (х-а) фактичне відхилення окремого значення випадкової величини від математичного очікування. Розділимо його на стандартне відхилення # 963 ;. Позначимо результат ділення як. Таким чином ми нормалізуємо або стандартизуючи все значення змінної х. Даний параметр має наступний сенс: він показує, у скільки разів фактичне відхилення відрізняється від стандартного. Тому параметр t називають відносним відхиленням. Його прийнято називати статистичним критерієм стандартного нормального розподілу. При перевірці статистичних гіпотез його значення дозволяють або прийняти або відхилити висунуті гіпотези.
Використовуючи параметр t. можна зробити заміну змінної у функції Гаусса. Від цього вираз стає простіше, а графік зсувається в початок координат в точку з координатою t = 0 (з математичним очікуванням рівним нулю і # 963; = 1) з межами інтервалу - t і + t (Рис. 1.11). З таким графіком зручніше працювати, так як безліч різних випадкових величин з нормальним розподілом можуть бути представлені одноманітним графіком і з'являється можливість створити єдиний алгоритм рішення задач для самих різних СВ. Як вже було сказано вище, ймовірність попадання значення випадкових величин в заданий інтервал дорівнює площі під кривою функції щільності ймовірності над даними інтервалом. На Рис. 1.11 ця площа заштрихована. В математиці площа, що лежить під графіком деякої функції, дорівнює інтегралу від цієї функції. Тоді для знаходження ймовірності попадання значення випадкових величин в інтервал від -t до + t. проинтегрируем функцію щільності ймовірності в даних межах. . З огляду на симетричність інтервалу, знайдемо площу від 0 до t і помножимо на два. . Підставами в даний вираз функцію Гаусса. .
Значення даного інтеграла для різних t обчислив Лаплас і представив їх у вигляді таблиці. Цю таблицю можна знайти в будь-якому математичному довіднику. Оскільки значення цього інтеграла залежать від межі t. то інтеграл від функції Гаусса стали називати функцією Лапласа і позначати як. Таким чином, ймовірність знаходження невідомого значення оцінюваного параметра генеральної сукупності можна знайти за формулою: Р = 2Ф (t). Якщо інтервал несиметричний P = Ф (t2) - Ф (t1)
Замечаніе.Іногда в таблицях нормального розподілу замість функції Лапласа вказується сама ймовірність Р або рівень значущості # 945 ;, параметр t може мати позначення z.
Довірчий інтервал для окремих значень досліджуваного ознаки при відомому параметрі # 963;
Нехай генеральна сукупність Х розподілена за нормальним законом N (a, # 963;). причому, параметр # 963; відомий. Необхідно оцінити довірчий інтервал для самих значень вимірюваного ознаки. В цьому випадку з формули або виводимо формулу довірчого інтервалу для окремих значень СВ. Полуширина довірчого інтервалу
Його центр знаходиться в точці a. ліва межа має значення. права межа. а довжина інтервалу 2t # 963 ;.