Таким чином, початок арки (точці А) відповідає значення параметра t1 = 0, вершині (точці В) - значення t2 = p. і кінця (точці С) - значення t3 = 2p. Площа всієї арки циклоїди можна знайти, обчисливши площу половини арки S1 (рис. 8.4). За формулою 8.13 отримаємо
2. Обчислення довжини дуги плоскої кривої
1 Припустимо, що на площині деяка дуга (крива лінія) є графіком безперервно-диференціюється y = f (x) на відрізку
[A; b] (рис. 8.1). В цьому випадку довжину l дуги можна обчислити за формулою:
. (8.14)
1 Припустимо, що дуга (рис. 8.1) є графіком функції, заданої параметрично на деякому відрізку [t1; t2], причому функції y (t) і x (t) у безперервний спосіб-діфференцируєми на даному відрізку. Тоді довжину l дуги можна обчислити за формулою:
Завдання 8.7. Обчислити довжину дуги полукубические параболи на проміжку [0; 1] (рис. 8.5).
Рішення. Напівкубічна парабола складається з двох симетричних щодо осі OX гілок. Шукана довжина l дорівнює сумі довжин дуг (l1) і (l2). Так як довжини дуг і збігаються, то l = 2l1.
Таким чином, за формулою (8.14) ми отримаємо:
Завдання 8.8. Обчислити довжину астроїди
(Рис. 8.6).
Рішення. Астроїда, так само як і циклоиду (завдання 8.6) можна побудувати по точках (як вправа зробіть це самостійно). Астроіда складається з чотирьох рівних по довжині частин. Знайдемо довжину дуги астроїди, розташованої в першій чверті, і помножимо її на чотири. Початку дуги (точці N) відповідає значення параметра. кінця дуги (точці M) відповідає значення параметра.
Таким чином, за формулою (8.15) знаходимо довжину астроїди:
3. Обчислення об'єму тіла з відомим поперечним перерізом.
Припустимо, що проекцією деякого тіла на вісь OX є відрізок [a; b] (рис. 8.7). Припустимо, що в кожній точці x відрізка [a; b] нам відома площа S (x) поперечного перерізу даного тіла. Розіб'ємо відрізок [a; b] точками на n частин і проведемо в кожній з отриманих точок площину, перпендикулярну осі OX. При досить великому числі розбиття відрізка
[A; b], тіло розрізається на велику кількість частин (шарів), кожну з яких приблизно можна вважати циліндром. Висота i -го шару (циліндра) дорівнює Dxi = xi - xi-1.
За площа підстави i -го циліндра приймемо. де - довільна точка i -го відрізка. Тоді обсяг i-го шару приблизно дорівнює. отже, обсяг тіла дорівнює
Але сума у формулі (8.16) є інтегральною сумою для певного інтеграла. Таким чином, якщо функція S (x) є неперервною на відрізку [a; b], то обсяг тіла з відомим поперечним перерізом S (x) дорівнює
4. Обчислення обсягу тіла обертання
Припустимо, що на проміжку
[A; b] визначена неперервна функція
y = f (x). Знайдемо об'єм тіла, яке виходить при обертанні графіка даної функції навколо осі OX на даному проміжку. Будь-яке перетин даного тіла площиною, перпендикулярній осі OX. є кругом (рис. 8.8). Радіус кола в довільній точці x Î[A; b] дорівнює значенню функції f (x) в цій точці. Отже, площа кола дорівнює. Підставляючи S (x) в формулу (8.17), ми отримаємо формулу обсягу тіла обертання:
Завдання 8.9. Обчислити обсяг веретена (рис. 8.9), отриманого при обертанні навколо осі OX ділянки синусоїди, розташованого на проміжку [0; p].
Рішення. Шуканий обсяг тіла обертання знайдемо по формулі (8.18):