дифференцируема на [c, d] і.
> 0M (M, + ) yY: (для інтеграла 1-го роду)
Ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності (для інтеграла 2-го роду)
Якщо g (x) на [a, b), інтегрована на будь-якому [a, ), (b-, b) така, що
Безперервність інтеграла від параметра
Теорема 2. Якщо f (x, y) визначена і неперервна на [a, b) [c, d]. інтеграл (y) = сходиться рівномірно на [c, d]. то цей інтеграл є безперервною функцією.
Другий і третій інтеграли можуть бути зроблені менше заданого вибором в силу рівномірної збіжності інтеграла. Після вибору перший інтеграл може бути зроблений менше заданого вибором досить дрібного розбиття в силу рівномірної неперервності функції.
Інтегрування інтегралів залежних від параметра
Теорема. Якщо функція f (x, y) визначена і неперервна на [a, b) [c, d], інтеграл (y) = сходиться рівномірно на [c, d]. то
Доведення. Для будь-якого в розумних межах
Цю теорему можна узагальнити
Теорема. Якщо функція f (x, y) визначена і неперервна на [a, b) [c, d), інтеграл сходиться рівномірно на [c, ]. інтеграл сходиться рівномірно на [a, ] і існує один з повторних інтегралів
, то існує й інший і виконується рівність
Аналогічно для рівномірної збіжності.
Теорема. Нехай функції f (x, y) і безперервні на [a, b) [c, d]. Якщо сходиться для всіх y а сходиться рівномірно на [c, d]. то функція (y) = неперервна дифференцируема на цьому відрізку і
Далі застосовується теорема про диференціюванні функціонального ряду.
Розглянемо два інтеграла,.