Інтеграли, залежні від параметра

дифференцируема на [c, d] і.

> 0M (M, + ) yY: (для інтеграла 1-го роду)

Ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності (для інтеграла 2-го роду)

Якщо g (x) на [a, b), інтегрована на будь-якому [a, ),  (b-, b) така, що



  1. Безперервність інтеграла від параметра

Теорема 2. Якщо f (x, y) визначена і неперервна на [a, b)  [c, d]. інтеграл  (y) = сходиться рівномірно на [c, d]. то цей інтеграл є безперервною функцією.

Другий і третій інтеграли можуть бути зроблені менше заданого  вибором  в силу рівномірної збіжності інтеграла. Після вибору  перший інтеграл може бути зроблений менше заданого  вибором досить дрібного розбиття в силу рівномірної неперервності функції.



  1. Інтегрування інтегралів залежних від параметра

Теорема. Якщо функція f (x, y) визначена і неперервна на [a, b)  [c, d], інтеграл  (y) = сходиться рівномірно на [c, d]. то

Доведення. Для будь-якого  в розумних межах

Цю теорему можна узагальнити

Теорема. Якщо функція f (x, y) визначена і неперервна на [a, b)  [c, d), інтеграл сходиться рівномірно на  [c, ]. інтеграл сходиться рівномірно на  [a, ] і існує один з повторних інтегралів

, то існує й інший і виконується рівність

Аналогічно для рівномірної збіжності.

Теорема. Нехай функції f (x, y) і безперервні на [a, b)  [c, d]. Якщо сходиться для всіх y а сходиться рівномірно на [c, d]. то функція  (y) = неперервна дифференцируема на цьому відрізку і

Далі застосовується теорема про диференціюванні функціонального ряду.

Розглянемо два інтеграла,.

Схожі статті