Група - монодромій
Назад, для будь-якого набору з і ненульових комплексних чисел існує однорідне рівняння класу - n - i Для до - торого числа набору породжують групу монодромії на нескінченності. На при п 2 безліч повної міри в С складається з наборів, що породжують групи монодромії з щільними в С орбітами. Родинний факт: безліч повної міри в просторі зрушень двовимірного тора складається з зрушень з щільними орбітами. [31]
А з нерозв'язності групи монодромії рівняння п'ятого ступеня топологічно виводиться неіснування формули, що виражає його коріння через радикали. Справа в тому, що група монодромії, що вимірює багатозначність кожного радикала, коммутативна, а група монодромії комбінації радикалів складається з їх груп монодромії так само, як здійсненне група складається з комутативний. [32]
А з нерозв'язності групи монодромії рівняння п'ятого ступеня топологічно виводиться неіснування формули, що виражає його коріння через радикали. Справа в тому, що група монодромії, що вимірює багатозначність кожного радикала, коммутативна, а група монодромії комбінації радикалів складається з їх груп монодромії так само, як здійсненне група складається з комутативний. [33]
Як зауваження додам, що, по-видимому, зв'язність, яка зберігає власні напрямки при русі власних чисел, ніяк не може бути сімплектіческой (мати симплектична монодромій), і ось чому. Симплектична структура fi ([Aoi], [AJ2]) A [а 1 а 2] ПРИ входить в нашу групу монодромії зв'язності відображенні Галуа А - Ak переходить в Ak [a. [34]
Фазові криві речового векторного поля або складаються з однієї точки, або гомеоморфні прямий або окружності; тому група моподроміі для речових диференціальних рівнянні Ліго тривіальна, або циклічна. Навпаки, вже для диференціальних; рівнянь, заданих на відкритому підмножина комплексної площини, рішення - шари можуть мати дуже багату фундаментальну групу; група монодромії таких шарів може бути дуже складною. Ото обумовлює заплутаність рішень, близьких до шару з багатою фундаментальної групою, що становить різке відміну комплексного випадку від речового. [35]
К (Q, 1) j H (Т)) t бо при доказі цього твердження використовувалася однозв'язного бази Але згадаємо, що при цьому вирішальну роль грала не однозв'язного бази, а така властивість розшарування: будь-які два шляхи, що з'єднують будь-які дві точки бази ос . індукують гомотопних відображення, - j ф itea4e: будь-який замкнутий шлях бази з початком і кінцем в точці х індукує відображення о5с - JCt - гомотопних тотожному. У нашому випадку це останнє забезпечується простотою X: дія фундаментальної групи К (Q - t / J на шарі Т нашого розшарування збігається (з точністю до го-Мотопила) з дією - / - (5 на 7 - - як групи монодромій бо останнє визначає на ЗГ. X) - / / V, тобто тотожні автоморфізм. [36]
У цьому випадку відповідь така. Якщо розмірність п довільна, але ступінь d дорівнює 2, то як і раніше сила тяжіння (а також і її потенціал) буде алгебраїчній і поза області гіперболічністю. Група монодромії в цьому випадку - досить складна група, породжена відображеннями. [37]
Для рівняння а класу т п нескінченно віддалена проективна пряма з виколотими особливими точками є рішенням; це рішення позначається Fa і називається нескінченно віддаленим. Фундаментальна група цього рішення - вільна з п утворюють. Група монодромії рівняння над нескінченно віддаленим рішенням називається групою монодромії рівняння на нескінченності; складність цієї групи обумовлює формулюються нижче теореми. [38]
Чи вірно, що регулярні особливості - ізомонодромние межі фуксових. Які матриці групи монодромії прагнуть до матриць Стокса при нерегулярному виродження. [39]
Нехай паросток голоморфної вектор-функції ср голоморфних триває на універсальну накриває над сферою Рімана з виколотими точками аь. Вронського продовженої вектор-функції (позначається також ср) ніде не звертається в нуль. Нехай паросток ср задає групу монодромії. при продовженні над. Рімана, лінійний простір, породжене компонентами паростка, відчуває лінійний автоморфизм. Нехай це продовження регулярно: коли t прагне до виколоти точці а, залишаючись усередині деякого сектора з вершиною а, модуль p (t) зростає не швидше деякої міри відстані до а на сфері Рімана. Тоді існує рівняння класу Фукса, для якого р - паросток фундаментальної системи рішень. [40]
Тоді а - підстановка коренів цього многочлена; групу підстановок коренів многочлена природно називати групою Галуа. В такому випадку природний термін група монодромії. [41]
При продовженні над петлею, що обходить полюса коефіцієнтів, цей простір переходить в себе і відчуває дрібно-лінійне перетворення. Група всіх так побудованих перетворень називається групою монодромії рівняння Риккати. [42]
Для рівняння а класу т п нескінченно віддалена проективна пряма з виколотими особливими точками є рішенням; це рішення позначається Fa і називається нескінченно віддаленим. Фундаментальна група цього рішення - вільна з п утворюють. Група монодромії рівняння над нескінченно віддаленим рішенням називається групою монодромії рівняння на нескінченності; складність цієї групи обумовлює формулюються нижче теореми. [43]
Цикли, які будуються при доказі цієї теореми, мають представників, що накопичуються до нескінченно віддаленого рішенням. Кожному з них відповідає нерухома точка перетворення монодромії, яке відповідає досить складною петлі на нескінченно віддаленому рішенні. Знайти такі перетворення монодромії вдається завдяки тому, що група монодромії на нескінченності для типового рівняння некомутативними. [44]
При продовженні рішень над петлею, що не проходить через полюси коефіцієнтів, простір паростків рішень в початковій точці петлі переходить в себе. Цей автоморфизм лине і називається перетворенням монодромії. Послідовному обходу петель відповідає твір перетворень монодромії. Цей гомоморфізм називається монодромій рівняння або системи; оператор, відповідний петлі - у. Образ гомоморфизма називають групою монодромії. [45]
Сторінки: 1 2 3 4