Побудова стереографической проекції кристала
Відповідно до закону сталості двогранні кутів характерними константами кристалів є їх кутові величини. Тому з багатьох методів проектування в кристалографії переважно застосовуються ті, які дають точне поняття про кути на кристалах. В цьому відношенні особливо зручні стереографічні проекції. «Стереос» (грец.) - просторовий.
Приймемо деяку точку О за центр проекцій (рис.9)
Довільним радіусом опишемо навколо Про куля, яка називається кулею проекцій. Через ту ж точку Про проведемо горизонтальну площину Q, що є площиною проекцій.
В результаті перетину сферичної поверхні з Q маємо велике коло (лінії перетину поверхні кулі з площинами, що проходять через його центр), що відповідає екватору кулі проекцій і представляє коло проекцій.
Вертикальний діаметр кулі NS, перпендикулярний до Q, називається віссю проекцій. Така вісь перетинає кулю проекцій в двох точках - N і S.Одна з цих точок (південний полюс кулі проекцій - S) є точкою зору.
Якщо потрібно зобразити стереографической проекцію будь-якого напрямку або площини, переносимо їх паралельно самим собі так, щоб вони пройшли через центр О.
Розглянемо отримання стереографической проекції деякого напряму ОА (рис.25). Для цього продовжимо даний напрямок до перетину з поверхнею кулі проекцій. Нехай точка а1 являє собою результат перетину ОА з кульової поверхнею.
Точка а- точка перетину S а1 з площиною Q-є стереографической проекцією напрямку ОА. Таким чином, стереографічні проекції напрямків зображуються точками.
Знайдемо стереографической проекцію площини R. Попередньо перенесемо R паралельно самій собі в центр проекцій, продовжимо її до перетину з поверхнею кулі проекцій (рис.10).
В результаті перетину отримаємо на кулі дугу великого кола а1 в1d1 ... Все точки цього кола з'єднуємо променями зору SА1 Sв1 Sd1 c точкою зору S. Зазначені промені утворюють проектує конус з вершиною S.
Результат перетину проектує конуса з площиною проекцій Q відповідає стереографической проекції заданої площині.
Відома теорема, згідно з якою стереографічна проекція кола є також колом.
У загальному випадку, стереографічні проекції площин зображуються круговими дугами.
Перейдемо до проектування кристалів методом стереографічних проекцій.
Нехай заданий деякий кристалічний багатогранник. Приймемо будь-яку точку Про всередині нього, наприклад центр ваги, за центр проекцій (рис.27). З цієї точки довільним радіусом опишемо сферичну поверхню - куля проекцій. Через центр проведемо горизонтальну площину проекцій Q і домовимося весь креслення зображати на ній.
Опустимо з центру Про на всі грані кристала перпендикуляри і продовжимо їх до перетину з поверхнею сфери. В результаті пересічний на сферичної поверхні виникне ряд точок. Наприклад, на рис. 27, а нормаль до межі А дає на кульової поверхні точку А1.
Мал. 27. Проектування кристала методом стереографічних проекцій (а); зображення проекцій граней А, В, С і D на площині Q (б)
Всі знайдені точки слід перенести на горизонтальну площину проекцій Q. З цією метою південний полюс кулі S приймаємо за точку зору і з'єднуємо з нею променями зору точки, розташовані на сфері.
В результаті перетину променів зору з площиною креслення отримаємо нові точки, що відповідають стереографічна проекція нормалей до граней. Таким чином, межі на даній проекції зображаються точками (точка а - стереографічна проекція нормалі до межі А (рис.27). Нормалі, що перетинають кулю проекцій в нижній півсфері, проектуються поза цим колом (наприклад, нормаль ОВ на рис.27). Незручність останнього побудови змушує переносити для таких нормалей точку зору S в північний полюс сфери N. в цьому випадку і проекції нижніх граней виявляться всередині кола проекцій.
Щоб відрізнити один від одного проекції нормалей до верхніх і нижніх гранях, перші позначаються кружками, а другі - хрестиками.
1. горизонтальні межі проектуються в центрі кола проекцій (наприклад, грань С, рис.27);
2. вертикальні межі проектуються на самому колі проекцій (наприклад, грань D);
3. косі межі проектуються всередині кола проекцій (наприклад, межі А і В). Чим крутіше нахил грані (т.е.чем менше кут між гранню і віссю проекцій), тим ближче проектує її точка розташовується до кола проекцій. І, чим положе грань (чим більше зазначений кут), тим ближче відповідна точка до центру кола.