Безлічі. Дії над множинами.
Безліч є з'єднанням, сукупність, збори деяких предметів, об'єднаних за будь-якою ознакою.
Якщо будь-який елемент множини В є і елементом множини А, то безліч В називають підмножину безлічі А.
Дії над множинами:
1. Об'єднання множин (А U В).
Об'єднанням безлічі А і В звані. таку силу-силенну С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них. В цьому випадку пишуть: А U В.
2. Віднімання множин:
Безліч С, яка складається з усіх елементів множини А, що не належ. безлічі В, звані. різницею множин А і В і позначу. А \ В.
Якщо А прінадл.В, то різниця А \ В звані. доповненням множини В до безлічі А.
2. Метод математичної індукції.
Пропозиція p (n) вважається дійсним для всіх натуральних значень змінної, якщо виконані наступні 2 умови:
1). Пропозиція p (n) істинно для n = 1.
2). Для будь-якого натурального k з припущення, що p (n) істинно для n = k випливає, що воно істинне і для n = k + 1.
Під методом матем.індукціі розуміють спосіб докази, заснований на принципі матем.індукціі, тобто якщо потрібно довести істинність пропозиції p (n) для всіх натуральних значень n, то спочатку перевіряють істинність висловлювання p (1), і потім, допустивши істинність висловлювання p (k), доводять істинність висловлювання p (k + 1).
Узагальнення методу матем.індукціі.
Іноді метод маетм.індукціі застосовують для доведення істинності пропозиції p (n) не для всіх натуральн.значеній n, а для всіх n, починаючи з деякого натурального числа m. У таких випадках спочатку перевіряється істинність висловлювання p (m).
Сполучення. Формула числа сполучень.
Твір послідовних натуральн.чісел від одиниці до n називається n-факторіалом, і позначається n !.
Поєднанням з n-елементів по k-елементів називається будь-яка підмножина з k елементів множини, що містить n елементів.
Число сполучень з n-елементів по k елементів позначається C k n. і вичісл.по формулою C k n = n! / k! (n-k)!
Формула Біному Ньютона дозволяє зводить двочлен а + в в будь-яку натуральну ступінь n.
Ньтона було встановлено, що (a + b) n = C 0 nanbn + C 1 nan -1 bn -1 + C 2 nan -2 bn -2 + ... + C knan - kbn - k + ... + C nna 0 b n . де C k n - число поєднань.
Ця формула дозволяє зводити двочлен в будь-яку Стпень, доводиться методом математичного. індукції.
Якщо необхідно знайти член розкладання з номером k, то він буде обчислюватися за формулою: C k-1 n a n - (k -1) b k -1.
Дійсні числа. Модуль дійсного числа.
Безліч всіх кінцевих і нескінченних десяткових дробів називається безліччю дійсних чисел, а кожна така дріб називається дійсним числом.
Модулем действіт.чісла називається число a є саме число a, якщо воно позитивне або дорівнює 0, і число -a, якщо воно негативне.
# 9474; a # 9474; = a, якщо a≥0
Комплексні числа. Операції над компл. числами в алгебр.форме.
Действіт.чісел мало для вирішення багатьох практичних завдань. Найпростіше квадратн.уравненіе x 2 + 1 = 0 в безлічі действіт.чісел вирішити не можна. Для розширення поняття числа ввели позначення √-1 = i, і назвали "уявною одиницею", тобто x 2 = -1.
Комплексним числом z назив.чісло виду a + bi, де a і b - действіт.чісла, а i - уявна одиниця. 2 комплексн.чісла z1 = a + bi і z2 = c + di вважаються рівними, якщо рівні їх действіт.часті і коефіцієнти при уявних частинах (a = c, b = d).
Числа z1 = a + bi і z2 = a-bi звані. сполученими.
Числа z1 = a + bi і z2 = -a-bi звані. протилежними.
Операції над комплексн.чісламі (z1 = a + bi, z2 = c + di) ;:
1). Додавання: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d). Для сложеніянеобход. скласти їх действіт.часті і коефіцієнти при уявних частинах.
2). Віднімання: z1-z2 = (a + bi) - (c-di) = (a-c) + i (b-d).
3). Множення: z1 * z2 = (a + bi) * (c + di) = (ac) + adi + cbi + bdi 2 = ac + i (ad * cb) -bd. (Bdi 2 = -bdi).
4). Розподіл: z1 / z2 = a + bi / c + di = (a + bi) (c-di) / (c + di) (c-di) = ac-adi + bci-bdi 2 / c 2 -d 2 i 2 = ac + bd + (bc-
- ad) i / c 2 + d 2 = ac + bd / c 2 + d 2 + (bc-ad) i / c 2 + d 2
Геометрична інтерпретація комплексного числа.
Т.к кожному комплексн.чіслу z = a + bi відповідає пара действіт.чісле a і b, а кожній парі действіт.чісел на площині відповідності. єдина точка, то комплексні числа можна зображати точками коордінатн.плоскості. На осі абсцис (ОХ) відкладається действіт.часть (a), тому цю вісь назив.действітельной віссю; на осі ординат (ОУ) відкладається коефіцієнт при уявній частині, тому цю вісь звані. уявної.
Оскільки кожному комплексн.чіслу z = a + bi соотв. єдина точка з координатами (a; b), а кожній точці площини соотв. свій радіус вектор, то комплексно. числа можна зображати за допомогою векторів
Довжина радіусвектора соотв.комплексн. числу z = a + bi, звані. модулем комплексн.чісла і позначу. r. а кут, образован.радіус-вектором з положіт.направленіем ОХ, звані. аргументом комплексн.чісла і позначу. arg z:
b / r = sin # 966; a / r = cos # 966;