Якщо взяти дві такі функції як 1) y = √x і 2) y = x 2 при x ≥ 0, то опис їх властивостей співпаде, незважаючи на те, що їх графіки відрізняються. Ось їх графіки:
Обидві функції мають одну і ту ж область визначення [0; + ∞], обидві зростаючі (зі збільшенням x збільшується і y), безперервні і ін.
Якщо не бачити графіки цих функцій, то виходить, що вони однакові. Однак це не так. Тому математики ввели додаткову характеристику функцій - їх опуклість.
Якщо подивитися на графік функції f (x) = √x, то видно, що він як би вигнутий вгору і вліво. А ось графік f (x) = x2 при x ≥ 0 має опуклість вниз і вправо. Однак досить буде розглянути лише одну вісь. Беруть вертикальну і кажуть, опукла функція вниз або вгору.
Характеристика виду «як би вигнутий» ні про що не говорить. Повинна бути чітка математична визначеність, що саме мається на увазі під опуклістю функції. Опуклість графіка визначають наступним чином. Через дві будь-які точки графіка функції проводять пряму. Якщо ділянка графіка між цими точками буде вищою проведеної прямої, то кажуть, що функція опукла вгору. Якщо ж частина графіка між точками виявляється нижче проведеної через них прямий, то функція опукла вниз.
Так функція y = √x опукла вгору. Між якими б точками ми не проводили прямі, частини графіка завжди виявляються вищими цих прямих:
Функція y = x 2 опукла вниз, т. К. Частині графіка завжди виявляються нижчими проведених прямих:
Таким чином, при описі властивостей функцій бажано вказувати її опуклість.