Спробую коротко все пояснити.
1. З приводу еквівалентності німу, як собі все це уявити і.т.д.
Що таке ним? Це повний орієнтований ациклічності граф. Взагалі в теорії Гранді розглядаються ТІЛЬКИ ациклічні графи, тому зациклення неможливо як таке. Як може бути влаштований ним з поверненням і чому він еквівалентний звичайному німу. Я собі це уявляю так. У нас є кілька ациклічності повних графів, і якісь переходи між ними, що не створюють циклів. Тобто з кожної вершини є всі необхідні переходи вниз, і якісь ще переходи, тільки не вгору, а кудись в бок.Почему такої ним еквівалентний звичайному? Та тому що, якщо ми у виграшній позиції - нам цей хід в бік просто не потрібен, а якщо в програшній - то він нічого не дасть, тому що з нього нас переведуть в таку ж позиція як і була. Робити це нескінченно довго у нас не вийде, так як немає циклів. Ще для бажаючих сюди можна дописати слово індукція.
2. З приводу звідки взявся mex.
Що вдає із себе гра? Гра це деяка вершина, і безліч ігор відповідних її нащадкам. (Що насправді те ж саме що і ациклічності граф). Знову згадуючи що буває індукція, і що вершина без переходів це цілком собі ним-0, Ми можемо замінити всіх нащадків на якісь Німи. А тепер що ж у нас вийшло? Це і є ним з поверненням розміру mex! Чому? Тому що є переходи в усі менші Німи і в якісь великі, при цьому немає зациклення. Але ним з поверненням еквівалентний звичайному німу того ж розміру. Тобто вихідна гра еквівалентна цьому mex'у.
3. З приводу навіщо все це потрібно.
Функція гранди - деяке число, повністю характеризує ациклічності гру, з точки зору виграшності / програшну. Тобто ми замінюємо досить складну конструкцію - ациклічності граф, простий - числом. Це вже радує. А що нам це ще дає. Без функції гранди щоб проаналізувати кілька незалежних ігор відразу, або гру, яка розпадається на незалежні, довелося б будувати новий граф, який об'єднує дві гри в одну, причому в ньому кількість вершин буде твором кількостей вершин у вихідних графах - а це не мало.
4. З приводу звідки взявся КСОР.
Стверджується що функція гранди від суми двох незалежних ігор буде КСОР їх функцій гранди. Це цілком добре доведено у макса для німов, а будь-яка гра як написано вище еквівалентна німу. Залишається дізнатися яким. Те що це буде КСОР можна показати для двох ігор (чого в силу асоціативності КСОР досить) по індукції. Виглядати це буде приблизно так. Намалюємо табличку. в клітку (i, j) напишемо i ^ j. Доведемо, що число в кожній клітині - мекс всього що написано під нею і лівіше її. Це доводиться по індукції. Тільки за перехід треба не +1 робити, а подвоювати квадрат. Тоді для нижньої лівої чверті все очевидно, для верхньої лівої та нижньої правої - у нас є все числа від 0 до 2 k - 1 в нижній лівій чверті і то що потрібно в цій же. А для верхній правій числа в нижній правій і верхньої лівої занадто великі, а вона сама збігається з нижньої лівої. Цей шматок докази краще намалювати. І власне все.
P.S. коротко не вийшло.