Якщо рівність (3.3.3) справедливо тоді і тільки тоді, коли. то рядки називаються лінійно незалежними. Співвідношення (3.3.2) показує, що якщо одна з рядків лінійно виражається через інші, то рядки лінійно залежні.
Легко бачити і зворотне: якщо рядки лінійно залежні, то знайдеться рядок, яка буде лінійною комбінацією інших рядків.
Нехай, наприклад, в (3.3.3). тоді.
Визначення. Нехай в матриці А виділений деякий мінор r-го порядку і нехай мінор (r +1) -го порядку цієї ж матриці цілком містить в собі мінор. Будемо говорити, що в цьому випадку мінор оздоблює мінор (або є окаймляющим для).
Тепер доведемо важливу лему.
Лемма про оздоблюють мінор. Якщо мінор порядку r матриці А = відмінний від нуля, а всі оздоблюють його мінори дорівнюють нулю, то будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією її рядків (стовпців), що становлять.
Доведення. Не порушуючи спільності міркувань, будемо вважати, що відмінний від нуля мінор r-го порядку варто в лівому верхньому кутку матриці А =.
Для перших k рядків матриці А твердження леми очевидно: досить в лінійну комбінацію включити цю ж рядок з коефіцієнтом, рівним одиниці, а решта - з коефіцієнтами, рівними нулю.
Доведемо тепер, що і інші рядки матриці А лінійно виражаються через перші k рядків. Для цього побудуємо мінор (r +1) -го порядку шляхом додавання до мінору k -ої рядки () і l-го стовпця ():
Отриманий мінор дорівнює нулю при всіх k і l. Якщо. то він дорівнює нулю як містить два однакових стовпця. Якщо. то отриманий мінор є окаймляющим мінор для і, отже, дорівнює нулю за умовою леми.
Розкладемо мінор за елементами останнього l -го стовпця:
Вираз (3.3.6) означає, що k-я рядок матриці А лінійно виражається через перші r рядків.
Так як при транспонировании матриці значення її мінорів не змінюються (з огляду на властивості визначників), то все доведене справедливо і для стовпців. Теорема доведена.
Слідство I. Будь-яка рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців). Дійсно, базисний мінор матриці відмінний від нуля, а всі оздоблюють його мінори дорівнюють нулю.
Слідство II. Визначник n-го порядку тоді і тільки тоді дорівнює нулю, коли він містить лінійно залежні рядки (стовпці). Достатність лінійної залежності рядків (стовпців) для рівності визначника нулю доведена раніше як властивість визначників.
Доведемо необхідність. Нехай задана квадратна матриця n-го порядку, єдиний мінор якої дорівнює нулю. Звідси випливає, що ранг цієї матриці менше n. тобто знайдеться хоча б один рядок, яка є лінійною комбінацією базисних рядків цієї матриці.
Доведемо ще одну теорему про ранзі матриці.
Теорема. Максимальне число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних стовпців і дорівнює рангу цієї матриці.
Доведення. Нехай ранг матриці А = дорівнює r. Тоді будь-які її k базисних рядків є лінійно незалежними, інакше базисний мінор був би рівний нулю. З іншого боку, будь-які r +1 і більше рядків лінійно залежні. Припустивши протилежне, ми могли б знайти мінор порядку більш ніж r. відмінний від нуля по слідству 2 попередньої леми. Останнє суперечить тому, що максимальний порядок миноров, відмінних від нуля, дорівнює r. Все доведене для рядків справедливо і для стовпців.
На закінчення викладемо ще один метод знаходження рангу матриці. Ранг матриці можна визначити, якщо знайти мінор максимального порядку, відмінний від нуля.
На перший погляд, це вимагає обчислення хоча і кінцевого, але можливо, дуже великого числа миноров цієї матриці.
Наступна теорема дозволяє, однак, внести в цей значні спрощення.
Теорема. Якщо мінор матриці А відмінний від нуля, а всі оздоблюють його мінори дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r.
Доведення. Досить показати, що будь-яка підсистема рядків матриці при S> r буде в умовах теореми лінійно залежною (звідси буде слідувати, що r - максимальне число лінійно незалежних рядків матриці або будь-які її мінори порядку більше ніж k дорівнюють нулю).
Припустимо гидке. Нехай рядки лінійно незалежні. За лемі про оздоблюють мінор кожна з них буде лінійно виражатися через рядки. в яких варто мінор і які, з огляду на те, що відмінний від нуля, лінійно незалежні: