Мал. 4.24. Приклад розгалуженої електричного кола.
Ланцюг має один незалежний вузол (a або d) і два незалежних контури (наприклад, abcd і adef)
Правила Кірхгофа дозволяють визначити силу і напрям струму в будь-якій частині розгалуженої ланцюга, якщо відомі опору її ділянок і включені в них ЕРС. Число рівнянь, що складаються за першим та другим правилами Кірхгофа, має дорівнювати числу шуканих величин. Використовуючи перше правило Кірхгофа для розгалуженої ланцюга, що містить m вузлів і n гілок (ділянок), можна написати (m - 1) незалежних рівнянь, а використовуючи друге правило, (n - m + 1) незалежних рівнянь.
Наведемо приклад розрахунку струмів в розгалуженої ланцюга (рис. 4.25).
Мал. 4.25. Приклад розгалуженої ланцюга
Напрямки дії ЕРС показані синіми стрілками. У цьому ланцюзі у нас є два вузла - точки b і d (m = 2), і три гілки - ділянку b -а -d зі струмом I1. ділянку b -d зі струмом I2 і ділянку b -c -d з струмом I3 (n = 3). Значить, ми можемо написати одне (m - 1 = 2 - 1 = 1) рівняння на основі першого правила Кірхгофа і два (n - m + 1 = 3 - 2 + 1 = 2) рівняння на основі другого правила Кірхгофа. Як же це робиться на практиці?
Крок перший. Виберемо напрямки струмів, поточних в кожній з гілок ланцюга. Як ці напрямки вибрати - зовсім неважливо. Якщо ми вгадали, в остаточному результаті значення цього струму вийде позитивним, якщо немає і напрям має бути зворотним - значення цього струму вийде негативним. У нашому прикладі ми вибрали напрямки струмів як показано на малюнку. Важливо підкреслити, що напрямки дії ЕРС не довільні, вони визначаються способом підключення полюсів джерел струму (див. Рис. 4.25).
Крок другий. Записуємо перше правило Кірхгофа для всіх вузлів крім одного (в останньому вузлі, вибір якого довільний, це правило буде виконуватися автоматично). У нашому випадку ми можемо записати рівняння для вузла b. куди входить струм I2 і виходять струми I1 і I3
Крок третій. Нам залишилося написати рівняння (в нашому випадку - два) для другого правила Кірхгофа. Для цього треба вибрати два незалежних замкнутих контуру. У розглянутому прикладі є три такі можливості: шлях по лівому контуру b -a -d -b. шлях по правому контуру b -c -d -b і шлях навколо всього ланцюга b -a -d -c -b. Досить взяти будь-які два з них, тоді для третього контуру друге правило Кірхгофа буде виконано автоматично. Напрямок обходу контуру ролі не грає, але при обході ток братиметься зі знаком плюс, якщо він тече в напрямку обходу, і зі знаком мінус, якщо струм тече в протилежному напрямку. Це саме можна сказати до знаків ЕРС.
Візьмемо для початку контур b -a -d -b. Ми виходимо з точки b і рухаємося проти годинникової стрілки. На нашому шляху зустрінуться два струму, I1 і I2. напрямки яких збігаються з обраним напрямом обходу. ЕРС також діє в цьому ж напрямку. Тому друге правило Кірхгофа для цієї ділянки ланцюга записується як
В якості другого замкнутого шляху для різноманітності виберемо шлях b -a -d -c -b навколо всього ланцюга. На цьому шляху ми зустрічаємо два струму I1 і I3. з яких перший увійде зі знаком плюс, а другий - зі знаком мінус. Ми зустрінемося також з двома ЕРС, з яких увійде в рівняння зі знаком плюс, а - зі знаком мінус. Рівняння для цього замкнутого шляху має вигляд
Останнє значення вийшло негативним при даних численних характеристиках ланцюга. Значить, насправді напрямок струму назад показаному на малюнку. Це природно: потужний лівий джерело посилає струм 0,75 А, частина якого (0,45 А) відгалужується в середню гілку, а залишок - 0,3 А - продовжує текти в тому ж напрямку, чого не може перешкодити малопотужна права батарея.
Примітка. Правила Кірхгофа дозволяють в принципі розрахувати як завгодно складні ланцюга. Але обчислення можуть бути досить складними. Тому рекомендується спочатку пошукати можливу симетрію ланцюга. Іноді з міркувань симетрії більш-менш очевидно, що якісь струми рівні між собою або якісь напруження дорівнюють нулю (і тоді ця ділянка ланцюга можна виключити з розгляду). Якщо таке можливо, обчислення істотно спрощуються.
У нашому прикладі ми знехтували внутрішнім опором джерел струму. При їх наявності вони також повинні включатися в рівняння другого правила Кірхгофа.
Приклад. Два однакових джерела струму з ЕРС і внутрішнім опором r з'єднуються в батарею. Можливі два варіанти з'єднання - послідовне і паралельне (рис. 4.26). При якому з'єднанні струм в навантаженні R буде найбільшим?
Мал. 4.26. Послідовне (1) і паралельне (2) з'єднання джерел струму
Рішення. Розрахунок особливо простий для послідовного з'єднання: рівняння першого правила Кірхгофа відсутня, так як в ланцюзі немає вузлів. Єдине рівняння другого закону дає
Для спрощення розрахунку паралельного з'єднання візьмемо до уваги, що з міркувань симетрії струми через джерела повинні бути рівні і збігатися за напрямком. Тоді перше правило Кірхгофа дає