Геометрично поле напрямків можна зобразити, проводячи в кожній точці області Д відрізок одиничної довжини з центром в цій точці, який утворює з позитивним напрямом осі кут (де). Якщо в точці права частина рівняння (1.31) звертається в нескінченність, то напрямок поля паралельно осі ординат (так як при). Якщо в точці звертається в невизначеність, то поле напрямків в цій точці не визначене, а сама точка називається особливою точкою диференціального рівняння.
Тепер в геометричній інтерпретації завдання інтегрування диференціального рівняння (1.31) можна сформулювати так: знайти такі криві, дотичні до яких в кожній точці збігаються з напрямом поля в цій точці.
Геометричне тлумачення рівняння (1.31) є основою для побудови наближених методів рішення рівняння (1.31). Один з таких методів називається методом ізоклін. Ізокліни поля напрямків називається геометричне місце точок, в яких напрямок поля однаково. Рівнянням ізокліни буде лінія
або. Метод ізоклін наближеного рішення диференціального рівняння 1-го порядку можна представити так.
Нехай дано диференціальне рівняння (1.31) з початковою умовою. Припустимо, рівняння має єдине рішення. Розіб'ємо криву на частин і кожну частину кривої замінимо відрізком дотичної в певних точках кривої. Інтегральну криву тепер можна замінити ламаної, що складається з відрізків дотичних. Відрізки дотичних отримують в методі ізоклін з рівняння (1.32).
П р и м і р 1. Дано рівняння і початкова умова. Побудувати ізокліни і наближене приватне рішення.
Р і ш е н і е. Побудуємо ізокліни, вважаючи рівній; ; ; ; . Отримаємо рівняння ізоклін - ліній з однаковим нахилом дотичних:
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; .
Нам відома одна точка інтегральної кривої. У цій точці кут, складений дотичній з віссю,. Проведемо з точки відрізок дотичної (до перетину з найближчою ізокліни). З отриманої точки перетину побудуємо відрізок дотичної під кутом до перетину з наступною ізокліни в точці. З точки будуємо відрізок дотичної під кутом до перетину з наступною ізокліни в точці і так далі. В результаті отримуємо ламану, яка приблизно становить рішення даного рівняння. Ця ламана тим точніше буде представляти рішення рівняння, чим густіше будуть ізокліни.
З а м е год а зв і е 1. Використовуючи метод ізоклін, можна будувати наближено і спільні рішення рівняння (1.31). Цей метод дозволяє визначити характерні лінії і області поля інтегральних кривих, такі, наприклад, як область зростання (за наявності), зменшення (при) інтегральних кривих, лінії екстремумів (). Якщо до того ж функція в рівнянні (1.31) диференційована, то за допомогою неявного завдання другої похідної
можна, поклавши, визначити область опуклості - угнутості (,) і точки перегину інтегральних кривих ().
П р и м і р 2. Побудувати приблизно інтегральні криві рівняння, використовуючи метод ізоклін.
Р і ш е н і е. Записуємо рівняння ізоклін ():, звідки - сімейство гіпербол.
1) При маємо або.
Таким чином, пряма - лінія екстремумів (лінія не лінія екстремумів, так як є приватним рішенням рівняння, і на підставі теореми існування і єдиності рішення через її точки не можуть проходити інші інтегральні криві).
2) Інтервали зростання - спадання:
3) Інтервали опуклості - угнутості (дивіться формулу (2.6)).
.
Диференціальні рівняння першого порядку
тема: 2. Диференціальні рівняння з розділеними і перемінними. Однорідні диференціальні рівняння і до них зводяться.
2.1 Основні поняття. завдання Коші