Рішення задач на розрізання грає важливу роль у формуванні понять площі, равновеликости і равносоставленності, розвитку геометричних уявлень.
Дві фігури називаються равносоставленнимі. якщо вони можуть бути розкладені на однакове число попарно рівних фігур.
З властивостей площі слід, що равносоставленниє фігури рівновеликі. Зокрема, равносоставленниє багатокутники рівновеликі. Наприклад, зображені на малюнку правильний шестикутник і паралелограм - равносоставленниє фігури, так як обидві вони складені з шести рівних рівносторонніх трикутників.
Природно поставити зворотне питання: всякі чи два рівновеликих багатокутника равносоставлени? Стверджувальне його рішення було отримано в XIX столітті.
Теорема. Будь-які два рівновеликих багатокутника равносоставлени.
Доказ цієї теореми буде отримано як результат застосування декількох теорем.
Теорема 1. Дві фігури, равносоставленниє з однієї і тієї ж фігурою, равносоставлени.
Доказательство.Действітельно, нехай фігури Ф 'і Ф "равносоставлени з фігурою Ф. Розглянемо лінії, що розбивають фігуру Ф на частини, з яких можна скласти фігуру Ф' і, крім того, лінії, що розбивають фігуру Ф на частини, з яких можна скласти фігуру Ф ". Одні й другі лінії розбивають фігуру Ф на більш дрібні частини, з яких можна скласти як фігуру Ф ', так і Ф ". Таким чином, фігури Ф' і Ф" равносоставлени.
Теорема 2. Будь-які два рівновеликих паралелограма равносоставлени.
Доказательство.Рассмотрім спочатку два паралелограма з рівними підставами. За умовою вони рівновеликі, значить, мають рівні висоти. Проведемо всередині кожного паралелограма відрізки, паралельні сторонам другого паралелограма. Тоді обидва паралелограма розіб'ються на однакове число попарно рівних трикутників.
Нехай тепер паралелограми не мають рівних сторін. Побудуємо третій паралелограм, що має з першим однакові підстава і висоту. Оскільки при цьому іншу сторону третього паралелограма можна вибирати довільно, зробимо її рівною однієї зі сторін другого паралелограма. Тоді третій паралелограм буде рівновеликий і з першим, і з другим, і з кожним з них має по рівній стороні. Отже, він равносоставлен і з першим, і з другим параллелограммом. В силу теореми 1, перший і другий паралелограми равносоставлени.
Теорема 3. Будь-які два рівновеликих трикутника равносоставлени.
Доказательство.Каждий трикутник продовженням середньої лінії перетворюється в рівновеликий йому паралелограм. Тому два рівновеликих трикутника перетворюються в два рівновеликих паралелограма. В силу теореми 2 ці паралелограми равносоставлени і, отже, равносоставлени вихідні трикутники.
Теорема 4. Всякий багатокутник равносоставлен з деяким трикутником.
Доказательство.Рассмотрім багатокутник і одну з його вершин перенесемо паралельно діагоналі на продовження однієї зі сторін. При цьому вихідний багатокутник перетворюється в рівновеликий багатокутник з числом сторін, на одиницю меншим. Маючи на увазі, що ми замінили один трикутник іншим - рівновеликих, а інша частина залишилася незмінною, отримаємо, що новий багатокутник буде равносоставлен з вихідним. Продовжуючи цей процес, ми перетворимо вихідний багатокутник в равносоставленності з ним трикутник.
Приступимо тепер до доведення основної теореми. Нагадаємо її формулювання:
Теорема. Будь-які два рівновеликих багатокутника равносоставлени.
Доведення. Нехай М 'і М "- рівновеликі багатокутники. Розглянемо равносоставленниє з ними трикутники Т' і Т" відповідно. Ці трикутники рівновеликі, а отже, равносоставлени. Значить, равносоставлени і вихідні багатокутники М 'і М ".
Доведена теорема дозволяє в принципі розрізати один із двох рівновеликих багатокутників на частини і скласти з них інший багатокутник. Однак це призводить до дуже великого числа дрібних багатокутників. У конкретних прикладах, як правило, можна вказати набагато більш раціональний спосіб розрізання.