Числова система - безліч чисел, яке включає в себе безліч натуральних чисел і замкнуто щодо операцій додавання, множення і, можливо, деяких інших.
Зазвичай числова система передбачає і певний спосіб запису чисел (скажімо, за допомогою арабських цифр 0,1, ..., 9) або навіть кілька можливих її варіантів для одного числа.
Крім того, числова система може бути наділена будь-якої додаткової структурою, наприклад:
- часткової або повної впорядкованістю (поняттями «більше» або «менше»),
- метрикою (відстанню між числами),
- нормою (модулем числа).
1. Найпростішу числову систему є натуральними числа. Вони виникають в процесі рахунку - і в першу чергу, завдяки можливості переходу від будь-якого натурального числа до наступного. Найбільш суворо цю числову систему, яку використовували з незапам'ятних часів, описав Дж. Пеано. причому лише в XIX столітті.
Натуральні числа можна складати один з одним, множити один на одного, віднімати з більшого менший, ділити з залишком, а іноді і без остачі. При цьому операції віднімання і ділення (без остачі) визначаються як зворотні до складання і множення, тобто що дозволяють за відомими значеннями a і b знайти значення x з рівняння a + x = b або a # 8729; x = b відповідно.
Поповнення натуральних чисел числом нуль, на яке, на відміну від всіх інших натуральних чисел, ділити не можна, навіть із залишком, - в принципі можливо, але малозмістовні. Проте, іноді число нуль, за визначенням, вважають теж натуральним.
2. Далі, з одного боку, якщо до натуральних числах додати дроби (виникають природним чином при розподілі чогось на рівні частини), то вийде безліч позитивних раціональних чисел. У цій числовий системі можна ділити будь-яке число на будь-ненульове (звичайно, розподіл із залишком тут вже не використовується).
З іншого боку, з тих же натуральних чисел шляхом додавання до них нуля і негативних цілих чисел виходять цілі числа. Ця числова система чудова тим, що в ній можна вичитати будь-яке число з будь-якого. До речі, на відміну від дробів, негативні числа з'явилися досить пізно, лише в середні століття: вони зажадали від математиків дещо більшою абстракції і ознаменували собою зародження алгебри.
Якщо ж звести обидва згаданих розширення воєдино, то вийде безліч всіх взагалі раціональних чисел (і позитивних, і непозитивним). Воно являє собою мінімальну числову систему, в якій можливі вже всі чотири арифметичні операції.
3. Довгий час вважалося, що інших (крім раціональних) чисел в природі немає: в них просто не було потреби. Однак після відкриття теореми Піфагора математики прийшли до парадоксального висновку: гіпотенуза прямокутного трикутника з одиничними катетами не має довжини, оскільки її квадрат має дорівнювати 2, а такого раціонального числа не існує (про це древнім грекам було вже відомо).
Таким чином, перша поява ірраціональних чисел пов'язане з операцією піднесення до натурального степеня. Точніше, зі зворотним до неї, вже не арифметичної, а алгебраїчній операцією: витяганням кореня натуральної ступеня a з натурального числа b. тобто знаходженням значення x з рівняння. Найменша числова система, що містить всі такі коріння, - це алгебраїчні числа.
До речі, раціональних чисел не вистачає і для виконання іншої операції, зворотної до зведення в ступінь, - взяття логарифма по натуральному основи a ≠ 1 від натурального числа b. тобто знаходженням значення x з рівняння. Наприклад, логарифм числа 3 по підставі 2 ірраціональний, оскільки число 2 ні в який раціональної ступеня не дає 3.
4. Геометрична інтерпретація чисел, як довжин різних відрізків, неминуче призводить до поняттю числової прямої. Якщо на прямій заздалегідь задати початок відліку, напрямок і одиницю довжини, то між усіма її точками і всіма числами (не тільки позитивними) можна встановити взаємно однозначну відповідність. У підсумку точки прямої будуть ототожнені з відповідними їм числами.
Отримана числова система задає дійсні, або речові, числа. Числова пряма містить всі алгебраїчні числа, але, як виявилося, не тільки їх. У 1873 р Г. Кантор довів, що на будь-якому інтервалі числової прямої є нескінченно багато інших, так званих трансцендентних чисел. У тому ж році Ш. Ерміт навів конкретний приклад трансцендентного числа, яким є число е. А в 1882 році була доведена також і трансцендентність числа π.
У процесі створення суворої теорії дійсних чисел математиками (зокрема, К. Вейерштрассом, Р. Дедекіндом, Г. Кантором) було, нарешті, виявлено властивість повноти числової прямої.
5. Починаючи з XVI століття, задовго до побудови строгої теорії дійсних чисел, в працях Дж. Кардано. А. де Муавра. Л. Ейлера і багатьох інших математиків було розпочато побудову нової числової системи, в якій можливо було витяг квадратного кореня з негативних чисел.
З'явилися комплексні числа, для наочного зображення яких треба було перейти з числової прямої в числову комплексну площину. При цьому відбулася втрата лінійної впорядкованості чисел. Зате додалася нова операція над ними - комплексне сполучення, знайшлася витончена геометрична інтерпретація їх твори, а також проявилася їх природна зв'язок з перетвореннями площини, тригонометрією і виявився цілий ряд чудових функціональних властивостей.
Подальші спроби розширення отриманої числової системи виявилися не настільки успішними. Вони привели У. Гамільтона до створення в 1843 р теорії кватерніонів, правда, з вимушеною втратою властивості коммутативности (перестановки) твори.