Спочатку трохи історії. Автобусні квитки мали (та й зараз це, здається, так само) номери, що складаються з шести цифр. Зрозуміло, номер квитка міг починатися на. "Щасливими '' називалися квитки, у яких сума перших трьох цифр дорівнює сумі останніх трьох цифр. Була поширена впевненість (в усякому разі, серед дитячого населення країни), що якщо тобі дістався "щасливий '' квиток, ти можеш загадати бажання і з'їсти квиток, тоді твоє бажання здійсниться. Звідси назва. Звичайно ж, "щасливі '' квитки діставалися дітлахам не так вже й часто. Чесно кажучи, жодного разу не бачила, щоб хтось такий квиток дійсно з'їв, та й сама не їла. Хоча чутки про з'їли "щасливий '' квиток і натомість отримали виконання бажання, ходили, і багато хто був переконаний в тому, що вони засновані на реальних подіях Відповідно, оскільки квитків таких було не так вже й багато, виникла і наступне завдання про кількість" щасливих " 'квитків. Отже,
задача. Кожен з мільйона квитків пронумерований послідовністю з шести цифр (від до). Скільки існує квитків, у яких сума перших трьох цифр дорівнює сумі останніх трьох цифр?
Рішення. Саме рішення вимагає досить великої кількості обчислень, однак вони не дуже складні. Важливо зрозуміти, як їх скоротити.
Знайдемо - число квитків, у яких сума перших трьох цифр дорівнює сумі трьох останніх цифр і дорівнює. Ясно, що може приймати значення від (три) до (три "дев'ятки '').
Спочатку доведемо, що. Справді, кожної послідовності з трьох десяткових цифр з сумою цифр від до можна поставити у відповідність послідовність з трьох десяткових цифр з сумою цифр наступним чином: кожну цифру в вихідної послідовності замінимо на цифру. Тим самим, кожної послідовності з трьох десяткових цифр з сумою цифр від до відповідатиме одна і тільки одна послідовність з трьох десяткових цифр з сумою цифр, що приймає значення від до. Значить, таких послідовностей з сумою цифр, де стільки ж, скільки послідовностей з сумою цифр ().
Далі нам знадобиться число способів подання цілого невід'ємного числа у вигляді суми трьох цілих невід'ємних доданків. Це можна зробити способами. Дійсно, число способів дорівнює числу сполучень з повтореннями з по (або інакше, розбиваємо одиниць на три групи - три доданків, як роздільники використовуємо нулі, всього елемента, з яких потрібно вибрати нуля, см. Поєднання з повтореннями).
Число способів отримати суму від до можна обчислити за отриманою формулою:
: (Втім, це і так очевидно,, інакше ніяк),
:,
:,
,
:,
:,
:,
:,
:,
:.
Тепер перейдемо до. Тут все трохи складніше, тому що цифри не існує, і нам потрібно з усіх способів розбиття числа не три цілих невід'ємних доданків відняти ті способи, в яких одна з складових одно. Підрахувати ці способи можна досить легко. Ми перший доданок в розкладанні числа на суму трьох доданків покладемо рівним, а далі підрахуємо кількість способів уявити час, що залишився число () у вигляді суми трьох цілих невід'ємних доданків (цих способів). Отримуємо (з урахуванням того, що доданок може стояти на трьох різних місцях)
:.
Для чинимо так само. Спочатку знаходимо число способів представити у вигляді суми трьох цілих невід'ємних доданків - воно дорівнює, а потім віднімаємо ті способи, в яких одна з складових більше або дорівнює десяти - їх всього. Отже,
:,
:,
:.
Число квитків, у яких сума перших трьох цифр дорівнює сумі останніх трьох цифр і дорівнює, знаходиться як (незалежно від способу вибору перших трьох цифр з сумою ми можемо вибрати три останні цифри, сума яких також дорівнює).
Залишилося знайти загальну суму:
Отже, всього є "щасливих" "квитка.