Чесно кажучи ситуація не однозначна.
Я часто працював в хрущовці і можу точно сказати що стінка на яку кріпляться кухонні навісні шафи суміжна ні з залом, а з сходовим майданчиком, більш того, це несуча стіна.
Або Вашу квартиру вже переробляли і мова не про кухонних шафах над мийкою, а мова про протилежній стіні і додаткових шафах на ній.
Що стосується кріплення шаф на пустотілі конструкції, то ось наприклад Болт Моллі (анкерний),
на нього можна повісити холодильник з річним запасом їжі, а не тільки кухонну шафку.
Що стосується питання про "краще знести", то звичайно краще, навіщо дихати азбестом, плоский азбестоцементний шифер не застосовують під внутрішніх приміщеннях, це пішло в минуле разом з Хрущовим.
Що стосується звукоізоляції, то варіантів зовсім мало, адже кухні в Хрущовки і без того маленькі, що б зробити каркас і закласти звукоізоляцію в нього.
Як варіант, гіпсокартон на клей і приклеїти до азбестоцементному шиферу.
Щодо зміцнення, мало що зрозуміло, плоский шифер кріпиться саморізами до каркасу, що треба зміцнювати?
Додайте кількість саморізів (зменшуємо крок, збільшуємо кріплення на погонний метр), перевірте кріплення каркаса, можливо, бруски каркаса згнили і стіна "дихає", тут тільки повна заміна брусків допоможе.
Під саморізи свердлити отвори, раджу використовувати свердло по дереву (пухові) йде як в масло.
Плоский шифер сверлится без удару.
Зміцнити таку стіну, наприклад, заповнивши чомусь порожнечі навряд чи вийде. Можна, звичайно, викликати майстрів, щоб вони повіяли простінок піною, але це дорого і недоцільно, так як шафи вам все одно на шифер не повісиш. Він крихкий і просто не витримає.
Що можу порадити. З боку кухні зробіть додаткову перегородку їх дерев'яної вагонки або листів ОСБ. На підлогу, стіни і стеля прикріплюєте брус. робите раму і прикручуєте до неї ОСБ або вагонку. Таким способом вирішите проблему і звукоізоляції, і шафи будуть триматися надійно.