Відповідно до закону всесвітнього тяжіння всі тіла притягуються до Землі з силою, пропорційною масі тіла (m - маса тіла і g = 9,81 м / с 2), ця сила називається вагою тіла (силою тяжіння).
При розгляді рівноваги і руху тіл складної форми важливо знати положення центра ваги цього тіла.
Розглянемо визначення положення центра ваги матеріальної пластини АВВ1 А1 у вигляді криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривою АВ. яка задана явним рівнянням у = у (х). і лініями х = а. х = b (a
Припустимо, що поверхнева щільність матеріалу пластини постійна, тобто фігура однорідна. Можна для визначеності вважати, що питома вага матеріалу пластини дорівнює 1 ( # 947; = # 961; g = 1, # 961; - щільність матеріалу), тоді маса пластини або її будь-якій частині вимірюється відповідною площею.
Для визначення положення центра ваги проведемо розбиття даної пластини на вертикальні смуги з підставами i = 1,2, ..., n (). Центр тяжкості кожної смуги визначається координатами
де і - координати точки кривої (= y ()).
Центром тяжіння розглянутої однорідної пластини АВВ1 А1. також як будь-якого іншого тіла, володіє тим властивістю, що його положення не залежить від повороту даної пластини на будь-який кут по відношенню до вертикалі. Як показано в курсі теоретичної механіки координати центру ваги тіла визначається формулами
коли кількість розбиття прямує до нескінченності, а довжина елементів розбиття. У формулах (7.15) - площа i - ой смуги розбиття
Переходячи до межі в формулах (7.15), коли і. відповідні суми є інтегральними, тому координати центру ваги криволінійної трапеції визначається формулами
Зауваження. 1. Якщо плоска фігура має вісь або центр симетрії, то центр ваги такої фігури знаходиться на осі або в центрі симетрії.
2. Якщо тіло складається з частин, центри тяжкості яких відомі, то центр ваги складеної фігури визначається за формулами
тут k - кількість складових частин; Si і хi. уi - відповідно площа і координати центру ваги i-ої частини. Якщо ж плоска фігура має отвори, то центр ваги цієї фігури визначається за цими ж формулами, проте площі, що відповідають отворам повинні бути негативними.
Приклад. Визначити координати центра ваги чверті кола (х, у> 0). Зобразимо дану плоску фігуру
Площа чверті кола.
Визначаємо інтеграли числителей формул (7.16) (ці інтеграли називаються статичними моментами)
Таким чином, координати центра ваги чверті кола рівні