Таблиця Келі Dih4 [en]
Центром є - рядок, що починається з 7 є Транспонированием стовпчика, який починається з 7, і елементи рядка і стовпця симетричні щодо діагоналі. (Тільки для нейтрального елемента це можливо у всіх групах.)
Центр групи в теорії груп - безліч елементів даної групи. які комутують з усіма її елементами:
Група G є абельовой в тому і тільки в тому випадку, коли її центр збігається з нею: Z (G) = G; в цьому сенсі центр групи може бути розглянуто як міра її «Абелеві». Кажуть, що група не має центру. якщо центр групи тривіальний, тобто складається тільки з нейтрального елемента.
Елементи центру іноді називають центральними елементами групи.
Центр групи завжди є її підгрупою: завжди містить нейтральний елемент (так як він комутує з будь-яким елементом групи по визначенню), замкнутий щодо групової операції і разом з вхідними елементами містить їх звернення.
Центр групи G завжди є нормальною підгрупою G. оскільки він замкнутий щодо сполучення. Більш того, центр групи - характеристична підгрупа. але при цьому - не цілком характеристична підгрупа [en].
Класи суміжності і централізаторів
За визначенням, центр групи - це безліч елементів, для яких класом суміжності кожного елемента є сам елемент.
Центр є також перетином всіх централізаторів всіх елементів групи G.
Ядро відображення f. G → Aut (G) (G)>. ставить у відповідність елементу групи g автоморфизм. заданий формулою:
є в точності центром групи G. а образ відображення f називається внутрішнім автоморфизмом групи G. який позначається Inn (G) (G)>; по першій теоремі про ізоморфізмі має місце: