Чи можемо ми знайти цей кут?
Отже, шуканим кутом φ може бути будь-який з кутів
і т. д. Таким чином, за значенням свого синуса кут визначається неоднозначно.
Такий неоднозначності, однак, можна уникнути, якщо зажадати, щоб шуканий кут φ знаходився в певних межах. Наприклад, при додатковому умови, що 0<φ <π /2 . равенство (1) определяет единственный угол: φ == π /6
Якби ми в якості додаткового обмеження, що накладається на кут φ. вибрали умова 0<φ <π, то задача опять была бы неопределенной. В интервале (0, π) синусоида у = sin х пересекается с прямой у = 1 /2 в двух точках М1 и М2. Абсцисса точки М1 равна π /6 . а абсцисса точки М2 равна 5π /6 . Поэтому в интервале (0, π) существует два угла φ. синусы которых равны 1 /2. φ1 =π /6 . φ2 =5π /6 .
Які ж обмеження потрібно накласти на кут φ. щоб рівність
визначало цей кут однозначно?
Один з можливих шляхів вирішення .етой завдання полягає в наступному. Насамперед зазначимо, що якщо | а |> 1, то рівність (2) взагалі не визначає ніякого кута: адже при будь-яких значеннях φ
Далі, будемо вважати, що кут змінюється в інтервалі від - π / 2 до π / 2. Тоді синус його безперервно зростає від -1 до +1.
Яким би не було число а. що не перевершує по абсолютній величині одиниці, в інтервалі - π / 2<х <π /2 синусоида у = sin x обязательно пересечется с прямой у = а и притом лишь в одной точке. Поэтому при любом |а| <1 равенство
(2) в інтервалі - π / 2<φ<π /2 определяет и притом единственный угол φ. Этот угол принято называть арксинусом числа а и обозначать arcsina .
Арксинус а є кут. укладений в інтервалі від - π / 2 до + π / 2 (або від -90 ° до + 90 °), синус якого дорівнює а.
3) arcsin 1 = π / 2. або arcsin 1 = 90 °. Дійсно, кут. в π / 2 радіанів потрапляє в інтервал [- π / 2. π / 2] і синус його дорівнює 1.
Аналогічно arcsin (-1) = - π / 2; arcsin 0 = 0 і т. д.
Зауважимо, що з рівності
не можна зробити висновок, що arcsin 0 = π. Адже кут в π радіанів не влучає у інтервал [- π / 2. π / 2] і тому не може дорівнювати арксинуса числа 0.
1. Які значення можуть приймати величини а і b. якщо b = arcsin a.
б) Чи можна з рівності sin 270 ° = -1 зробити висновок, що arcsin (-1) = 270 ° ?.
4. (У с т н о.) У яких чвертях закінчуються кути:
а) arcsin 0,6; в) arcsin (-0,8);
б) arcsin 0,9; г) arcsin (-0,1)?
а) sin (arcsin 0,6); в) cos [arcsin (\ / 3 - \ / 2)]
6. Знайти синуси, косинуси, тангенси і котангенс кутів:
a) arcsin 0,4; б) arcsin (-0,8).