алгебра логіки

Рішення логічних задач

Як вирішувати логічні завдання?

Різноманітність логічних задач дуже велике. Способів їх вирішення теж чимало. Але найбільшого поширення набули наступні три способи вирішення логічних завдань:

засобами алгебри логіки;
табличний;
за допомогою міркувань.

I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки.

Зазвичай використовується наступна схема рішення:
1. вивчається умову задачі;
2. вводиться система позначень для логічних висловлювань;
3. конструюється логічна формула, що описує логічні зв'язки між усіма висловлюваннями умови задачі;
4. визначаються значення істинності цієї логічної формули;
5. з отриманих значень істинності формули визначаються значення істинності введених логічних висловлювань, на підставі яких робиться висновок про рішення.

Троє друзів, уболівальників автогонок "Формула-1", сперечалися про результати майбутнього етапу гонок.
- Ось побачиш, Шумахер не прийде першим, - сказав Джон. Першим буде Хілл.
- Та ні ж, переможцем буде, як завжди, Шумахер, - вигукнув Нік. - А про Алезі і говорити нема чого, йому не бути першим.
Пітер, до якого звернувся Нік, обурився:
- Хіллу не бачити першого місця, а ось Алезі пілотує найпотужнішу машину.
По завершенні етапу гонок виявилося, що кожне з двох припущень двох друзів підтвердилося, а обидва припущення третього з друзів були невірними. Хто виграв етап гонки?

Введемо позначення для логічних висловлювань:
Ш - переможе Шумахер;
Х - переможе Хілл;
А - переможе Алезі.
Репліка Ніка "Алезі пілотує найпотужнішу машину" не містить ніякого твердження про місці, яке займе цей гонщик, тому в подальших міркуваннях не враховується.
Зафіксуємо висловлювання кожного з друзів:

З огляду на те, що припущення двох друзів підтвердилися, а припущення третього невірні, запишемо і спростимо справжнє висловлювання

Висловлення істинно тільки при Ш = 1, А = 0, Х = 0.

Переможцем етапу гонок став Шумахер.

II. Рішення логічних задач табличним способом.

При використанні цього способу умови, які містить завдання, і результати міркувань фіксуються за допомогою спеціально складених таблиць.

В симфонічний оркестр взяли на роботу трьох музикантів: Брауна, Сміта і Вессона, які вміють грати на скрипці, флейті, альті, кларнеті, гобої і трубі.
Відомо що:
1. Сміт найвищий;
2. грає на скрипці менше зростанням грає на флейті;
3. грають на скрипці і флейті і Браун люблять піцу;
4. коли між альтистом і трубачем виникає сварка, Сміт мирить їх;
5. Браун не вміє грати ні на трубі, ні на гобої.
На яких інструментах грає кожен з музикантів, якщо кожен володіє двома інструментами?

Складемо таблицю і відобразимо в ній умови задачі, заповнивши відповідні клітини цифрами 0 і 1 в залежності від того, помилково або істинно відповідне висловлювання.

Так як музикантів трoе, інструментів шість і кожен володіє тільки двома інструментами, виходить, що кожен музикант грає на інструментах, якими інші не володіють.
З умови 4 випливає, що Сміт не грає ні на альті, ні на трубі, а з умов 3 і 5, що Браун не вміє грати на скрипці, флейті, трубі і гобої. Отже, інструменти Брауна - альт і кларнет. Занесемо це у таблицю, а що залишилися клітини стовпців "альт" і "кларнет" заповнимо нулями:

З таблиці видно, що на трубі може грати тільки Вессон.
З умов 1 і 2 випливає, що Сміт скрипаль. Так як на скрипці не грає ні Браун, ні Сміт, то скрипалем є Вессон. Обидва інструменти, на яких грає Вессон, тепер визначено, тому інші клітини рядка "Вессон" можна заповнити нулями:

З таблиці видно, що грати на флейті і на гобої може тільки Сміт.

Браун грає на альті і кларнеті, Сміт - на флейті і гобої, Вессон - на скрипці і трубі.

Три однокласника - Влад, Тимур і Юра, зустрілися через 10 років після закінчення школи. З'ясувалося, що один з них став лікарем, інший фізиком, а третій юристом. Один полюбив туризм, інший біг, пристрасть третього - регбі.
Юра сказав, що на туризм йому не вистачає часу, хоча його сестра - єдиний лікар в сім'ї, завзятий турист. Лікар сказав, що він розділяє захоплення колеги.
Забавно, але у двох із друзів в назвах їх професій і захоплень не зустрічається ні одна буква їх імен.
Визначте, хто чим любить займатися у вільний час і у кого яка професія.

Тут вихідні дані розбиваються на трійки (ім'я - професія - захоплення).
З слів Юри ясно, що він не захоплюється туризмом і він не лікар. З слів лікаря слід, що він турист.

Буква "а", присутня в слові "лікар", вказує на те, що Влад теж не лікар, отже лікар - Тимур. В його імені є літери "т" і "р", що зустрічаються в слові "туризм", отже другий з друзів, в назвах професії і захоплення якого не зустрічається ні одна буква його імені - Юра. Юра не юрист і не регбіст, так як в його імені містяться літери "ю" і "р". Отже, остаточно маємо:

Влад - юрист і регбіст, Тимур - лікар і турист, Юра - фізик і бігун.

III. Рішення логічних задач за допомогою міркувань.

Цим способом зазвичай вирішують нескладні логічні завдання.

Вадим, Сергій і Михайло вивчають різні іноземні мови: китайський, японський і арабська. На питання, яку мову вивчає кожен з них, один відповів: "Вадим вивчає китайську, Сергій не вивчає китайську, а Михайло не вивчає арабську". Згодом з'ясувалося, що в цій відповіді тільки одне твердження вірне, а два інших помилкові. Яку мову вивчає кожен з молодих людей?

Є три твердження:
1. Вадим вивчає китайську;
2. Сергій не вивчає китайську;
3. Михайло не вивчає арабську.
Якщо вірно перше твердження, то вірно і друге, так як юнаки вивчають різні мови. Це суперечить умові завдання, тому перше твердження помилкове.
Якщо вірно друге твердження, то перше і третє повинні бути помилкові. При цьому виходить, що ніхто не вивчає китайську. Це суперечить умові, тому друге твердження теж помилково.
Залишається вважати це остання причина твердження, а перше і друге - хибними. Отже, Вадим не вивчає китайський, китайський вивчає Сергій.