10. Електроємність. конденсатори
Електроємна відокремленого провідника називається фізична величина, що дорівнює відношенню заряду провідника до його потенціалу в поле цього заряду:
Електроємність провідника показує, який заряд необхідно повідомити провіднику для того, щоб його потенціал прийняв задане значення. Чим більше заряд провідника, тим більше його потенціал в поле цього заряду. Тому електроємність не залежить ні від величини заряду провідника, ні від значення його потенціалу, а залежить тільки від розміру і форми провідника, а також від діелектричних властивостей середовища, в якій він знаходиться. Одиниця виміру електроємна провідника в СІ називається фарад (позначається 1 Ф):
Розглянемо визначення ємності проводить кулі радіусом R. знаходиться у вакуумі. Для цього повідомимо кулі довільний заряд Q. Заряд рівномірно розподілиться по поверхні кулі з поверхневою щільністю
вид функції
Відповідно до (3.5) ємність кулі
Електроємна конденсатора називається фізична величина, що дорівнює відношенню заряду конденсатора до різниці потенціалів, що створюється полем цього заряду між його обкладинками:
Так само, як і ємність провідника, електроємність конденсатора не залежить ні від величини заряду конденсатора, ні від різниці потенціалів між його обкладинками, а залежить тільки від розміру і форми конденсатора, а також від діелектричних властивостей середовища між обкладками конденсатора. Слід зазначити, що електроємність конденсатора не залежить від наявності поблизу нього інших провідних або діелектричних тіл.
Як приклад виведемо формулу ємності плоского конденсатора, зображеного на рис. 3.9, а. Визначимо напруженість електростатичного поля, створюваного однієї зарядженої пластиною площею S. Силові лінії такого поля зображені на рис. 3.10. Якщо розглянути точки простору, розташовані настільки близько до пластині, що відстань від них до пластини істотно менше, ніж до її кордонів (з цих точок пластина буде представлятися як нескінченно велика площина), то викривленням силових ліній біля кордонів пластини можна знехтувати (рис. 3.11 ). Таким чином, нескінченно велика заряджена площина створює однорідне поле. Виходячи з симетричності системи, модуль напруженості поля у всіх точках, рівновіддалених від пластини, повинен бути однаковим, а напрямок вектора
Визначимо напруженість поля в деякій точці з координатою x. відлічуваної уздовж осі
Визначимо потік напруженості поля через обрану поверхню.
,
де
Визначимо алгебраїчну суму зарядів, охоплених поверхнею гауссова циліндра. В даному випадку електричний заряд, який потрапив всередину нього - це заряд "вирізаної" циліндром частини пластини. Його можна знайти, помноживши площу основи циліндра на поверхневу щільність заряду пластини:
Прирівняємо (3.8) і (3.9) з урахуванням коефіцієнта
Отримане співвідношення визначає модуль напруженості однорідного поля нескінченно великою зарядженої пластини.
Якщо дві різнойменно заряджені пластини розташувати на малій відстані один від одного так, щоб виконувалася умова однорідності поля кожної з них (рис. 3.13), то напруженість поля можна буде визначити за принципом суперпозиції з урахуванням (3.10):
В цьому випадку різниця потенціалів між обкладинками отриманого конденсатора можна визначити так:
Ємність плоского конденсатора, за визначенням (3.7), становитиме
Слід врахувати, що якщо простір між обкладинками будь-якого конденсатора заповнити діелектриком з відносною діелектричною проникністю , то при тому ж значенні заряду обкладок напруженість поля між обкладками зменшиться в раз. Тому в раз зменшиться різниця потенціалів між ними, а, отже, в раз збільшиться ємність конденсатора:
.
Виведемо формулу ємності сферичного конденсатора. Розглянемо систему сферичних обкладок, зображену на рис. 3.9, в. Помістимо на внутрішню обкладку заряд Q. а на зовнішню заряд
Визначимо різницю потенціалів між обкладинками, користуючись диференціальним зв'язком напруженості і потенціалу (1.13):
.
Ємність сферичного конденсатора, за визначенням (3.7), становитиме
Якщо конденсатор заповнений діелектриком з відносною діелектричною проникністю , то
Підкреслимо ще раз, що ємність конденсатора залежить від розміру, форми конденсатора і відносної діелектричної проникності діелектрика між його обкладинками.
11. Енергія електричного поля.
Розглянемо процес зарядки відокремленого провідника. Щоб його заряд досяг величини Q. будемо повідомляти провіднику заряд порціями dq. переносячи їх з нескінченно віддаленої точки 1 на поверхню провідника в точку 2 (рис. 3.14). Для передачі провіднику нової порції заряду
.
Відповідно до закону збереження енергії, робота зовнішніх сил із зарядки провідника збільшує енергію створюваного електростатичного поля, тобто провідник запасає певну енергію:
Розглянемо процес зарядки конденсатора від джерела ЕРС. Джерело в процесі зарядки переносить заряди з однієї пластини на іншу, причому сторонні сили джерела здійснюють роботу по збільшенню енергії конденсатора:
,
де Q - заряд конденсатора після зарядки. Тоді енергія електричного поля, створеного конденсатором, визначиться як
Вираз (3.14) дозволяє записати величину енергії електростатичного поля двома способами:
Зіставлення двох співвідношень дозволяє задати питання: що є носієм електричної енергії? Заряди (перша формула) або поле (друга формула)? Обидва записаних рівності прекрасно узгоджуються з результатами експериментів, тобто розрахунок енергії поля можна однаково правильно вести по обидва формулами. Однак таке спостерігається тільки в електростатики, тобто коли здійснюється розрахунок енергії поля нерухомих зарядів. При розгляді теорії електромагнітного поля в подальшому (гл. 8) ми побачимо, що електричне поле може створюватися не тільки нерухомими зарядами. Електростатичне поле - це окремий випадок електромагнітного поля, існуючого в просторі у вигляді електромагнітної хвилі. Його енергія розподілена в просторі з певною щільністю. Введемо поняття об'ємної щільності енергії поля наступним чином.
Перетворимо останню рівність (3.14) для випадку плоского конденсатора, скориставшись зв'язком різниці потенціалів і напруженості однорідного поля:
,
де
Об'ємною густиною енергії поля називається відношення енергії поля, укладеного в малому обсязі простору до цього обсягу:
Отже, енергію однорідного електричного поля можна розрахувати так:
Зроблений висновок можна поширити на випадок неоднорідного поля таким чином:
де
Для прикладу розрахуємо енергію електричного поля, створеного відокремленим металевою кулею радіусом R. зарядженим зарядом Q. і знаходяться в середовищі з відносною діелектричною проникністю . Повторивши міркування приклади з п.2.5, отримаємо модуль напруженості поля у вигляді функції
Тоді вираз для об'ємної щільності енергії поля набуде вигляду:
Оскільки напруженість поля залежить тільки від радіальної координати, то вона буде практично постійна в межах тонкого сферичного шару з внутрішнім радіусом r і товщиною
.
Аналогічний результат ми б отримали, якби вираховували енергію зарядженого кулі по формулі (3.13), скориставшись (3.6):
Однак слід пам'ятати, що такий спосіб не застосуємо, якщо необхідно знайти енергію електричного поля, укладену не в усьому обсязі поля, а лише в його частині. Також метод розрахунку за формулою (3.13) не можна використовувати при визначенні енергії поля системи, для якої застосовується поняття "ємність".